Matemática · FUNDATEC · 2023 | Questão sqc-qq903934

Equação da circunferência

Gabarito: letra D. A circunferência tem centro (6, 4) e corta o eixo das abscissas (eixo x) nos pontos (4, 0) e (8, 0). O raio é a distância do centro a qualquer um desses pontos: $r = \sqrt{(6-4)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$ . A equação reduzida é $(x-6)^2 + (y-4)^2 = 20$ , que desenvolvida resulta em $x^2 + y^2 - 12x - 8y + 32 = 0$ — exatamente a alternativa D.

A equação reduzida da circunferência de centro $(a, b)$ e raio $r$ é $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ . Ela decorre da definição de circunferência como o lugar geométrico dos pontos que distam $r$ do centro, aplicando o teorema de Pitágoras. Para chegar à forma geral (ou normal), basta expandir os quadrados:

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \Rightarrow x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = r^2

\Rightarrow x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2 + b^2 - r^2) = 0

Nesta questão, o ponto-chave é descobrir o raio. Como a circunferência corta o eixo das abscissas em 4 e 8, esses são os pontos de interseção com o eixo x: $(4, 0)$ e $(8, 0)$ . A distância do centro $(6, 4)$ a qualquer um deles é o raio. Usando o ponto $(4, 0)$ :

r = \sqrt{(6-4)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}

Portanto, $r^2 = 20$ . Substituindo na equação reduzida:

(x-6)^2 + (y-4)^2 = 20

Expandindo:

x^2 - 12x + 36 + y^2 - 8y + 16 = 20

x^2 + y^2 - 12x - 8y + 52 = 20

x^2 + y^2 - 12x - 8y + 32 = 0

A pegadinha clássica aqui é errar o sinal do termo independente: ao passar o 20 para o outro lado, muitos candidatos somam 52 + 20 = 72 ou subtraem incorretamente, caindo nas alternativas A ou C. O correto é subtrair 20 de ambos os lados, resultando em +32.

1Centro (6, 4)
2Raio = distância ao eixo x
3r² = 20
4Forma reduzida
5Expandir → forma geral

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Alternativa A — ❌ Incorreta

O termo independente é -32, mas o correto é +32. Isso acontece se o candidato fizer $52 - 20 = 32$ e depois trocar o sinal por engano, ou se considerar $r^2 = 84$ (erro no cálculo do raio).

Alternativa B — ❌ Incorreta

Os sinais dos coeficientes de x e y estão invertidos: +12x e +8y. Isso corresponderia a um centro (-6, -4), não (6, 4). Na forma geral, o coeficiente de x é $-2a$ e o de y é $-2b$ ; com centro (6, 4), temos $-12x$ e $-8y$ .

Alternativa C — ❌ Incorreta

Falta o termo independente +32. A equação $x^2 + y^2 - 12x - 8y = 0$ representa uma circunferência que passa pela origem, mas não é a pedida. O erro vem de esquecer de somar $a^2 + b^2 - r^2 = 36 + 16 - 20 = 32$ .

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, é exatamente a expansão correta: $x^2 + y^2 - 12x - 8y + 32 = 0$ . Confere com o centro (6, 4) e raio $\sqrt{20}$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

Os sinais dos coeficientes de x e y estão invertidos (+12x e +8y) e o termo independente é -32. Isso corresponderia a um centro (-6, -4) e a um raio diferente. É a combinação de dois erros: sinal do centro e sinal do termo independente.

PEGA ESSA DICA!

Para conferir rapidamente se uma equação geral corresponde ao centro dado, lembre-se: o coeficiente de x é $-2a$ e o de y é $-2b$ . Assim, para centro (6, 4), os coeficientes devem ser -12 e -8. E o termo independente é $a^2 + b^2 - r^2$ . Se você calcular o raio corretamente, o termo independente sai na hora. Treine esse caminho inverso: dada a equação geral, achar centro e raio completando quadrados.

Gabarito: letra D