GabaritoE — 3√2
Gabarito: letra E. O resultado de √8 − √50 + √72 é 3√2. Para chegar a isso, basta fatorar cada radicando e extrair os fatores que são quadrados perfeitos: √8 = 2√2, √50 = 5√2 e √72 = 6√2. Somando os coeficientes: 2 − 5 + 6 = 3, logo o resultado é 3√2.
A radiciação é a operação inversa da potenciação. Quando trabalhamos com raízes quadradas, uma das técnicas mais úteis é a simplificação de radicais: decompor o radicando em fatores primos e "tirar" da raiz os fatores que aparecem em quantidade igual ao índice. No caso da raiz quadrada, tiramos os fatores que aparecem em pares.
Vamos fatorar cada número:
8 = 2 × 2 × 2 = 2² × 2 → √8 = √(2² × 2) = 2√2
50 = 2 × 5 × 5 = 2 × 5² → √50 = √(2 × 5²) = 5√2
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3² = 2² × 2 × 3² → √72 = √(2² × 2 × 3²) = 2 × 3 × √2 = 6√2
Agora, substituímos na expressão original:
√8 − √50 + √72 = 2√2 − 5√2 + 6√2
Como todos os termos têm o mesmo radical (√2), podemos somar/subtrair os coeficientes:
(2 − 5 + 6)√2 = 3√2
Portanto, a alternativa correta é a letra E.
−√2 seria o resultado se você fizesse 2 − 5 + 6 = 3 e depois, por engano, trocasse o sinal ou esquecesse de somar o 6. O erro aqui é não considerar que √72 também contribui positivamente com 6√2. O sinal negativo só apareceria se o coeficiente final fosse negativo, o que não é o caso.
2√2 é o valor de √8 isolado, ou seja, apenas o primeiro termo da expressão. Quem marca esta alternativa provavelmente simplificou √8 e parou por aí, sem operar com os demais radicais. Lembre-se: a questão pede o resultado da operação completa, não de um termo isolado.
2 é um número inteiro, sem radical. Isso aconteceria se você somasse os coeficientes e "sumisse" com o √2, o que é um erro conceitual: √2 é um número irracional e não pode ser simplesmente descartado. O resultado correto mantém o radical, pois os coeficientes (2, −5, 6) são números racionais, mas o fator √2 permanece.
√30 é o resultado de uma soma incorreta dos radicandos: 8 − 50 + 72 = 30, e depois se extrai a raiz de 30. Esse é um erro clássico: não se pode somar/subtrair radicandos diretamente quando os radicais são diferentes. A operação correta exige que todos os termos estejam na forma a√b (mesmo radicando) para então operar os coeficientes.
3√2 é exatamente o resultado da simplificação e da operação: 2√2 − 5√2 + 6√2 = (2 − 5 + 6)√2 = 3√2. A alternativa está correta porque aplica corretamente a simplificação de radicais e a soma de termos semelhantes.
A banca explora a confusão entre somar os radicandos (8 − 50 + 72 = 30, o que levaria à alternativa D) e a técnica correta de simplificar cada radical antes de operar. Outra pegadinha é parar na simplificação do primeiro termo (√8 = 2√2, alternativa B). Fique atento: só podemos somar/subtrair radicais quando eles têm o mesmo radicando — por isso é essencial simplificar primeiro.
Para resolver expressões com raízes quadradas, siga sempre este roteiro: 1) fatore cada radicando; 2) extraia os fatores que são quadrados perfeitos; 3) escreva cada termo na forma a√b; 4) some/subtraia os coeficientes, mantendo o radical comum. Treine com vários exemplos até automatizar esse processo.
Gabarito: letra E
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