GabaritoE — É infinito.
Gabarito: letra E. A interseção entre A = {x ∈ R | x > π} e B = {x ∈ R | x ≤ 4} é o intervalo (π, 4], que contém infinitos números reais — portanto, o número de elementos de A ∩ B é infinito. A resposta decorre diretamente da definição de interseção de conjuntos e da infinitude do conjunto dos números reais.
A interseção de dois conjuntos é o conjunto formado pelos elementos que pertencem simultaneamente a ambos. No caso, um número real x pertence a A ∩ B se, e somente se, satisfaz as duas condições: x > π e x ≤ 4. Isso define o intervalo aberto em π e fechado em 4, ou seja, (π, 4].
Como π ≈ 3,14159, o intervalo (π, 4] engloba todos os números reais maiores que π e menores ou iguais a 4. Entre dois números reais distintos quaisquer, existem infinitos outros números reais (propriedade da densidade dos reais). Logo, o intervalo (π, 4] possui infinitos elementos — não é vazio, não tem um único elemento, não é finito e não tem menos de 1 elemento.
A pegadinha da banca está em o candidato pensar apenas em números inteiros ou racionais simples, esquecendo que o conjunto dos reais é denso e infinito. Por exemplo, entre 3,2 e 3,3 existem infinitos números como 3,21, 3,211, 3,2111, etc. Todos esses pertencem a A ∩ B.
Afirma que o número de elementos é menor que 1. Isso não faz sentido para cardinalidade de conjuntos: ou o conjunto é vazio (0 elementos) ou tem pelo menos 1 elemento. Como A ∩ B = (π, 4] não é vazio (por exemplo, 4 ∈ A ∩ B), o número de elementos é pelo menos 1, e na verdade é infinito. Portanto, a afirmação é falsa.
Afirma que o conjunto é finito. Um conjunto finito tem um número limitado de elementos. Mas (π, 4] contém infinitos números reais, pois entre π e 4 há uma infinidade de valores. Logo, não é finito.
Afirma que possui um único elemento. Isso seria verdade se a interseção fosse um conjunto unitário, como {4} ou {π}. Mas o intervalo (π, 4] contém infinitos elementos, não apenas um. Por exemplo, 3,2 e 3,3 pertencem a A ∩ B, e são distintos.
Afirma que é vazio. O conjunto vazio não possui nenhum elemento. Mas A ∩ B contém, por exemplo, o número 4 (pois 4 > π e 4 ≤ 4). Portanto, não é vazio.
Afirma que o número de elementos é infinito. De fato, A ∩ B = {x ∈ R | π < x ≤ 4} é um intervalo não degenerado da reta real, e todo intervalo com extremos distintos contém infinitos números reais. Logo, a cardinalidade é infinita.
Em questões de conjuntos definidos por desigualdades, sempre verifique se o conjunto é um intervalo da reta real. Se for um intervalo com extremos distintos (mesmo que um deles seja aberto), ele terá infinitos elementos. Desenhe a reta numérica e marque os intervalos para visualizar a interseção — isso evita o erro de pensar apenas em números inteiros.
Gabarito: letra E
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