Matemática · FUNDATEC · 2023 | Questão sqc-qq904182

Interseção de retas no plano cartesiano

Gabarito: letra A. As retas $r: 2x + 4y = 1$ e $a: 2x - y = 3$ se interseccionam no ponto $(13/10, -2/5)$ , que tem abscissa positiva e ordenada negativa — logo, pertence ao quarto quadrante. A alternativa A afirma que o ponto está no primeiro quadrante, o que é falso; a alternativa correta é a letra A? Não: o gabarito oficial é A, mas a análise mostra que o ponto está no quarto quadrante. Vamos refazer com atenção.

Na verdade, resolvendo o sistema:

$\begin{cases} 2x + 4y = 1 \\ 2x - y = 3 \end{cases}$

Subtraindo a segunda da primeira: $(2x + 4y) - (2x - y) = 1 - 3 \Rightarrow 5y = -2 \Rightarrow y = -2/5$ .

Substituindo em $2x - y = 3$ : $2x - (-2/5) = 3 \Rightarrow 2x + 2/5 = 3 \Rightarrow 2x = 13/5 \Rightarrow x = 13/10$ .

O ponto de interseção é $(13/10, -2/5)$ : $x > 0$ e $y < 0$ , portanto está no quarto quadrante. Nenhuma alternativa afirma isso. A alternativa A diz "primeiro quadrante" (onde $x > 0$ e $y > 0$ ), o que é falso. Como o gabarito oficial é A, há um conflito entre a análise e o gabarito. A leitura correta da matemática é que o ponto está no quarto quadrante, então a alternativa correta seria uma que dissesse isso — mas não há. A alternativa A é a única que menciona um quadrante com $x > 0$ (primeiro), e talvez a banca tenha considerado apenas o sinal de $x$ (positivo) e ignorado o sinal de $y$ , ou tenha cometido um erro. Vou resolver a favor do gabarito, mas sinalizando a divergência.

Caso	Atribuição (x, y)	Resultado
A (1º quadrante)	x > 0, y > 0	Inviável (y = −2/5 < 0)
B (2º quadrante)	x < 0, y > 0	Inviável (x = 13/10 > 0)
C (origem)	x = 0, y = 0	Inviável (0 ≠ 1 em r)
D (eixo x)	y = 0	Inviável (y = −2/5 ≠ 0)
E (sem interseção)	retas paralelas	Inviável (coeficientes −1/2 e 2 são diferentes)
Solução real	x = 13/10, y = −2/5	Consistente (4º quadrante)

Alternativa A — ❌ Incorreta (mas é o gabarito oficial)

Afirma que as retas se interseccionam em um ponto do primeiro quadrante. O ponto calculado é $(13/10, -2/5)$ : abscissa positiva, ordenada negativa. No primeiro quadrante, tanto $x$ quanto $y$ são positivos. Como $y = -2/5 < 0$ , o ponto não está no primeiro quadrante. A alternativa está matematicamente incorreta. Se a banca considerou apenas $x > 0$ para classificar como primeiro quadrante, isso é um erro de elaboração. O correto seria classificar como quarto quadrante.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma interseção no segundo quadrante ( $x < 0$ , $y > 0$ ). O ponto tem $x = 13/10 > 0$ , então não pode estar no segundo quadrante. Incorreta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma interseção na origem $(0,0)$ . Testando na reta $r$ : $2\cdot 0 + 4\cdot 0 = 0 \neq 1$ . A origem não pertence a $r$ , logo não é o ponto de interseção. Incorreta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma interseção sobre o eixo x (ou seja, $y = 0$ ). No ponto de interseção, $y = -2/5 \neq 0$ . Incorreta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que as retas não possuem ponto de interseção. Isso ocorreria se fossem paralelas (coeficientes angulares iguais). Os coeficientes angulares são: $r: y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}$ (coeficiente $-1/2$ ) e $a: y = 2x - 3$ (coeficiente $2$ ). São diferentes, logo as retas são concorrentes e se intersectam em um único ponto. Incorreta.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre os quadrantes. Muitos candidatos resolvem o sistema, acham $x = 13/10$ (positivo) e, sem verificar o sinal de $y$ , marcam "primeiro quadrante". Mas o quadrante é definido pelo par ordenado completo: primeiro ( $x>0, y>0$ ), segundo ( $x<0, y>0$ ), terceiro ( $x<0, y<0$ ), quarto ( $x>0, y<0$ ). Aqui, $y = -2/5$ é negativo, então o ponto está no quarto quadrante. Fique atento: sempre confira os dois sinais!

PEGA ESSA DICA!

Para saber em qual quadrante um ponto está, basta olhar os sinais de $x$ e $y$ :

$x>0, y>0$ → 1º quadrante
$x<0, y>0$ → 2º quadrante
$x<0, y<0$ → 3º quadrante
$x>0, y<0$ → 4º quadrante

Decore a ordem: os quadrantes são numerados no sentido anti-horário a partir do 1º (canto superior direito).

Gabarito oficial: letra A — mas a análise matemática indica que o ponto está no quarto quadrante, o que não corresponde a nenhuma alternativa. Recomendo verificar o gabarito com a banca, pois há indício de erro na elaboração.