GabaritoD — 21 log 2.
Gabarito: letra D. A expressão log 2 + log 4 + log 8 + ... + log 64 pode ser reduzida a 21 log 2. Isso porque cada termo pode ser reescrito como um múltiplo de log 2 (usando a propriedade log aᵇ = b·log a), e a soma dos expoentes de 2 de 2¹ até 2⁶ é 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21.
A questão explora duas propriedades fundamentais dos logaritmos: a propriedade da potência (log aᵇ = b·log a) e a soma de logaritmos de mesma base (log x + log y = log(x·y)). Vamos entender o raciocínio completo.
Os termos da soma são log 2, log 4, log 8, ..., log 64. Observe que todos os logaritmandos são potências de 2:
2 = 2¹
4 = 2²
8 = 2³
16 = 2⁴
32 = 2⁵
64 = 2⁶
Aplicando a propriedade da potência, cada logaritmo vira:
log 2 = log 2¹ = 1·log 2
log 4 = log 2² = 2·log 2
log 8 = log 2³ = 3·log 2
log 16 = log 2⁴ = 4·log 2
log 32 = log 2⁵ = 5·log 2
log 64 = log 2⁶ = 6·log 2
Somando tudo: (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)·log 2 = 21·log 2.
A pegadinha da banca está em não perceber que a soma dos expoentes é uma progressão aritmética de 1 a 6, cuja soma é 21 — e não simplesmente o último termo (64) ou o número de termos (6).
Afirma que a expressão se reduz a log 2. Isso seria verdade apenas se houvesse um único termo, mas a soma tem seis termos. O erro é ignorar completamente a soma.
Afirma que a expressão se reduz a log 64. Isso confunde o último termo da soma com o resultado total. A soma de logaritmos não é igual ao logaritmo do último termo; é igual ao logaritmo do produto de todos os logaritmandos (log 2 + log 4 + ... + log 64 = log(2·4·8·16·32·64)), que é muito maior que log 64.
Afirma que a expressão se reduz a 2 log 2. Isso seria o resultado de log 2 + log 2, ou seja, apenas dois termos iguais a log 2. Aqui temos seis termos, e os coeficientes vão de 1 a 6, não apenas 1 + 1.
Como demonstrado, a soma dos coeficientes é 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21, portanto a expressão é 21 log 2. A alternativa está correta.
Afirma que a expressão se reduz a 64 log 2. Isso seria o resultado se todos os seis termos fossem log 64 (ou seja, 6·log 64 = 6·6·log 2 = 36 log 2, não 64 log 2). O número 64 é o logaritmando do último termo, não o coeficiente da soma. O coeficiente correto é 21.
Para resolver somas de logaritmos com logaritmandos que são potências da mesma base, reescreva cada termo como coeficiente × log da base e some os coeficientes. Se os expoentes formarem uma progressão aritmética, use a fórmula da soma da PA: (primeiro + último) × número de termos / 2. Aqui: (1 + 6) × 6 / 2 = 21.
Gabarito: letra D
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