Questão de Matemática — Geometria Plana — FUNDATEC 2023

Geometria Analítica: Equação da Circunferência

Gabarito: letra A. A equação reduzida da circunferência $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ tem centro $C(a,b)$ e raio $r$. Para que a circunferência esteja no primeiro quadrante, o centro deve ter coordenadas positivas ($a>0$ e $b>0$); para que tangencie o eixo $y$, a distância do centro ao eixo $y$ deve ser igual ao raio, ou seja, $a=r$. A única alternativa que satisfaz ambas as condições é a letra A, com centro $(2,3)$ e raio $2$.

A equação reduzida da circunferência é a forma mais direta de extrair centro e raio: os números que aparecem subtraídos de $x$ e $y$ são as coordenadas do centro, e o termo independente é o quadrado do raio. Assim, em $(x-2)^2+(y-3)^2=4$, temos centro $(2,3)$ e raio $\sqrt{4}=2$.

Para que a circunferência esteja no primeiro quadrante, o centro precisa ter $x>0$ e $y>0$ (pois o raio é positivo e a circunferência se estende a partir do centro). Para que tangencie o eixo $y$, a distância do centro até o eixo $y$ (que é o valor absoluto da coordenada $x$ do centro) deve ser exatamente igual ao raio. Como o centro está no primeiro quadrante, $x>0$, então a condição é $x_{centro}=r$.

Vamos verificar cada alternativa:

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Centro $(2,3)$, raio $2$. A coordenada $x$ do centro é $2$, que é igual ao raio $2$. Portanto, a distância do centro ao eixo $y$ é $2$, igual ao raio, e a circunferência tangencia o eixo $y$. Além disso, o centro tem coordenadas positivas, então a circunferência está no primeiro quadrante. ✅

Alternativa B — ❌ Incorreta

Centro $(2,1)$, raio $2$. A coordenada $x$ do centro é $2$, igual ao raio, então tangencia o eixo $y$. Porém, o centro tem $y=1$, que é positivo, então a circunferência estaria no primeiro quadrante? Sim, mas o problema é que o raio é $2$ e o centro tem $y=1$, então a circunferência se estende até $y=1-2=-1$, ou seja, invade o quarto quadrante. Para estar inteiramente no primeiro quadrante, precisamos que $b \geq r$ (a coordenada $y$ do centro deve ser maior ou igual ao raio). Aqui $1 < 2$, então a circunferência não está contida no primeiro quadrante. ❌

Alternativa C — ❌ Incorreta

Centro $(2,-3)$, raio $2$. A coordenada $y$ do centro é negativa, então o centro está no quarto quadrante, e a circunferência não pode estar no primeiro quadrante. ❌

Alternativa D — ❌ Incorreta

Centro $(2,3)$, raio $\sqrt{2}$. A coordenada $x$ do centro é $2$, que é diferente do raio $\sqrt{2} \approx 1,41$. A distância do centro ao eixo $y$ é $2$, que é maior que o raio, então a circunferência não tangencia o eixo $y$ (ela está afastada dele). ❌

Alternativa E — ❌ Incorreta

Centro $(3,2)$, raio $2$. A coordenada $x$ do centro é $3$, que é diferente do raio $2$. A distância do centro ao eixo $y$ é $3$, maior que o raio, então a circunferência não tangencia o eixo $y$. ❌

Gabarito: letra A