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Questão de Matemática — Progressões — FUNDATEC 2023

MatemáticaProgressões
Código
qq904189
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Rolante - RS
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professores de Matemática
Considere a seguinte sequência:1, 3, 9, 27, …É correto afirmar que o 8º termo da sequência é dado por:
  1. A81.
  2. B243.
  3. C3⁷.
  4. D3⁸.
  5. E3⁹.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 3⁷.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a O 8º termo é 3⁷, portanto a alternativa correta é a letra C..

A ideia por trás

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o anterior por uma constante chamada razão (q). No mundo real, PGs modelam crescimentos ou decaimentos proporcionais, como juros compostos, crescimento populacional ou a multiplicação de bactérias. O termo geral de uma PG é dado por aₙ = a₁ · q^(n−1), onde a₁ é o primeiro termo, q é a razão e n é a posição do termo. Essa fórmula mostra que o termo cresce exponencialmente com a posição: quanto maior n, maior o expoente, e o valor cresce muito rápido. Nesta questão, a sequência é uma PG com a₁ = 1 e q = 3, e precisamos encontrar o 8º termo, ou seja, aplicar a fórmula com n = 8.

O que a questão dá

  • sequência: 1, 3, 9, 27, …

  • primeiro termo a₁ = 1

  • razão q = 3 (cada termo é o anterior multiplicado por 3)

O que queremos: o 8º termo da sequência, na forma de potência

Passo 1 — Identificar a razão da sequência

Para saber se a sequência é uma progressão geométrica e qual é o fator de multiplicação, precisamos calcular a razão. A razão é o número pelo qual cada termo é multiplicado para obter o próximo.

Por que esta fórmula: A razão de uma PG é obtida dividindo um termo pelo seu antecessor: q = a₂ / a₁. Isso porque, por definição, a₂ = a₁ · q.

q=a2a1q = \frac{a_2}{a_1}

De onde vem cada valor: a2a_2 = enunciado: 3 (segundo termo) · a1a_1 = enunciado: 1 (primeiro termo)

q=31q = \frac{3}{1}
q=3q = \boxed{3}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir na ordem errada (a₁/a₂) daria 1/3, que é a razão inversa e levaria a uma fórmula errada.

Passo 2 — Escrever a fórmula do termo geral

Com a razão identificada, precisamos de uma fórmula que permita calcular qualquer termo da sequência sem listar todos os anteriores. O termo geral da PG faz exatamente isso.

Por que esta fórmula: O termo geral da PG é aₙ = a₁ · q^(n−1). O expoente (n−1) indica quantas multiplicações pela razão foram feitas a partir do primeiro termo: para o 1º termo, n−1 = 0, então a₁ = a₁ · q⁰ = a₁; para o 2º, n−1 = 1, e assim por diante.

an=a1⋅qn−1a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o expoente n em vez de n−1, o que desloca o termo em uma posição.

Passo 3 — Substituir os valores na fórmula

Agora que temos a fórmula e os valores de a₁, q e n, podemos calcular o 8º termo substituindo esses números na expressão.

Por que esta fórmula: Aplicamos a fórmula do termo geral com n = 8, pois queremos o oitavo termo. Substituímos a₁ = 1, q = 3 e n = 8.

a_8 = a_1 · q^8-1

De onde vem cada valor: a1a_1 = enunciado: 1 · qq = passo 1: 3 · 88 = enunciado: queremos o 8º termo

a_8 = 1 · 3^8-1
a8=3 7a_8 = \boxed{3\ ^{7}}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular 3^8 em vez de 3^7, confundindo o número do termo com o expoente.

Resposta: O 8º termo é 3⁷, portanto a alternativa correta é a letra C.

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