Questão de Matemática — Seno, Cosseno e Tangente — FUNDATEC 2023

Relação Fundamental da Trigonometria

Gabarito: letra B. A expressão $\text{sen}^2(x) + \cos^2(x)$ é a Relação Fundamental da Trigonometria, que vale 1 para qualquer ângulo $x$. Essa identidade decorre diretamente do Teorema de Pitágoras aplicado ao círculo trigonométrico: em um triângulo retângulo, o seno e o cosseno são os catetos e a hipotenusa é 1, logo $\text{sen}^2(x) + \cos^2(x) = 1$.

A Relação Fundamental é a base de toda a trigonometria. Ela permite, por exemplo, calcular o seno a partir do cosseno (e vice-versa) e é usada na dedução de outras identidades, como as fórmulas do arco duplo: $\cos(2x) = \cos^2(x) - \text{sen}^2(x) = 2\cos^2(x) - 1 = 1 - 2\text{sen}^2(x)$ e $\text{sen}(2x) = 2\,\text{sen}(x)\cos(x)$. Perceba que nenhuma dessas fórmulas se confunde com a Relação Fundamental — elas são consequências dela, mas não são iguais a ela.

A banca explora exatamente essa confusão: o candidato que decora as fórmulas sem entender a origem pode trocar a Relação Fundamental por uma das fórmulas do arco duplo. Mas a questão é direta: pede o valor de $\text{sen}^2(x) + \cos^2(x)$, que é sempre 1, independentemente do valor de $x$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 0 não corresponde a nenhuma identidade trigonométrica fundamental. A soma dos quadrados do seno e do cosseno nunca é zero, pois ambos não podem ser simultaneamente nulos (no círculo trigonométrico, se $\text{sen}(x) = 0$, então $\cos(x) = \pm 1$, e vice-versa).

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A Relação Fundamental da Trigonometria afirma que $\text{sen}^2(x) + \cos^2(x) = 1$ para todo $x$ real. Essa identidade é consequência do Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo inscrito no círculo unitário, onde a hipotenusa é o raio (1) e os catetos são o seno e o cosseno.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$2\text{sen}(x)$ não é uma identidade. Essa expressão aparece, por exemplo, na fórmula do seno do arco duplo: $\text{sen}(2x) = 2\,\text{sen}(x)\cos(x)$, mas não tem relação com a soma dos quadrados. O candidato pode confundir a Relação Fundamental com essa fórmula, mas são coisas distintas.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$\text{sen}(2x)$ é o seno do arco duplo, dado por $\text{sen}(2x) = 2\,\text{sen}(x)\cos(x)$. Não é igual a $\text{sen}^2(x) + \cos^2(x)$. A banca coloca essa alternativa para testar se o aluno conhece a fórmula do arco duplo e não a confunde com a Relação Fundamental.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$\cos(2x)$ é o cosseno do arco duplo, que pode ser escrito como $\cos(2x) = \cos^2(x) - \text{sen}^2(x)$, entre outras formas. Note que essa expressão é a diferença dos quadrados, não a soma. Portanto, não equivale a $\text{sen}^2(x) + \cos^2(x)$.

Gabarito: letra B