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Questão de Matemática — Prismas — FUNDATEC 2023

MatemáticaPrismas
Código
qq904903
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Sapucaia do Sul - RS
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor A2 – Matemática – 20 e 40 horas
O volume do prisma de altura 3 e de base cuja área é o triângulo formado pelos pontos (4,1), (1,2) e (3,8) no plano cartesiano é dado por:
  1. A10.
  2. B15.
  3. C20.
  4. D30.
  5. E60.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 30.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 30 unidades de volume (alternativa D)..

A ideia por trás

O volume de um prisma é a quantidade de espaço que ele ocupa, medida em unidades cúbicas. Ele é calculado multiplicando a área da base pela altura: V = A_b × h. A base deste prisma é um triângulo no plano cartesiano, e a área de um triângulo com vértices conhecidos pode ser obtida pela metade do valor absoluto do determinante formado pelas coordenadas. Nesta questão, precisamos primeiro encontrar a área do triângulo e depois multiplicar pela altura para obter o volume.

O que a questão dá

  • altura do prisma = 3

  • pontos da base: (4,1), (1,2), (3,8)

O que queremos: o volume do prisma

Passo 1 — Montar a matriz do determinante

Para calcular a área do triângulo a partir das coordenadas dos vértices, usamos o determinante de uma matriz 3x3. Essa matriz é construída colocando as coordenadas de cada ponto em uma linha, com uma coluna de 1s. O determinante dessa matriz está relacionado à área do triângulo.

Por que esta fórmula: A área de um triângulo com vértices (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) é dada por A = 1/2 |det|, onde det é o determinante da matriz [[x1,y1,1],[x2,y2,1],[x3,y3,1]]. Essa fórmula vem da geometria analítica e é uma forma direta de calcular a área sem precisar de base e altura.

∣x1y11x2y21x3y31∣\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}

De onde vem cada valor: x1x_1 = enunciado: 4 · y1y_1 = enunciado: 1 · x2x_2 = enunciado: 1 · y2y_2 = enunciado: 2 · x3x_3 = enunciado: 3 · y3y_3 = enunciado: 8

∣411121381∣\begin{vmatrix} 4 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \end{vmatrix}
NÃO CAIA NESSA!

Trocar a ordem dos pontos ou errar um sinal ao montar a matriz.

Passo 2 — Calcular o determinante

O determinante da matriz fornece um número que, em valor absoluto, é o dobro da área do triângulo. Precisamos calculá-lo para depois obter a área.

Por que esta fórmula: Para uma matriz 3x3, o determinante pode ser calculado pela regra de Sarrus ou pela expansão de Laplace. Aqui usamos a expansão pela primeira linha: det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg).

det⁡=x1(y2⋅1−1⋅y3)−y1(x2⋅1−1⋅x3)+1(x2⋅y3−y2⋅x3)\det = x_1(y_2 \cdot 1 - 1 \cdot y_3) - y_1(x_2 \cdot 1 - 1 \cdot x_3) + 1(x_2 \cdot y_3 - y_2 \cdot x_3)

De onde vem cada valor: x1x_1 = passo 1: 4 · y1y_1 = passo 1: 1 · x2x_2 = passo 1: 1 · y2y_2 = passo 1: 2 · x3x_3 = passo 1: 3 · y3y_3 = passo 1: 8

det⁡=4(2⋅1−1⋅8)−1(1⋅1−1⋅3)+1(1⋅8−2⋅3)=−20\det = 4(2 \cdot 1 - 1 \cdot 8) - 1(1 \cdot 1 - 1 \cdot 3) + 1(1 \cdot 8 - 2 \cdot 3) = \boxed{-20}
NÃO CAIA NESSA!

Errar os sinais ao expandir, especialmente o sinal do segundo termo.

Passo 3 — Obter a área do triângulo

A área do triângulo é a metade do valor absoluto do determinante. Como o determinante deu -20, seu valor absoluto é 20, e a área é 10.

Por que esta fórmula: A fórmula da área por coordenadas é A = 1/2 |det|. O valor absoluto garante que a área seja positiva, e a divisão por 2 vem do fato de que o determinante calcula o dobro da área do paralelogramo formado pelos vetores, e o triângulo é metade disso.

A=12∣det⁡∣A = \frac{1}{2} |\det|

De onde vem cada valor: det⁡\det = passo 2: -20

A=12⋅20=10A = \frac{1}{2} \cdot 20 = \boxed{10}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2, obtendo 20 como área.

Passo 4 — Calcular o volume do prisma

Com a área da base em mãos, o volume do prisma é simplesmente a área da base vezes a altura. Essa é a definição de volume de um prisma: ele é um sólido com duas bases paralelas e iguais, e o volume é o espaço entre elas.

Por que esta fórmula: A fórmula V = A_b × h é a definição de volume de qualquer prisma. A base é o triângulo que calculamos, e a altura é a distância entre as bases, dada no enunciado como 3.

V=Ab×hV = A_b \times h

De onde vem cada valor: AbA_b = passo 3: 10 · hh = enunciado: 3

V=10×3=30V = 10 \times 3 = \boxed{30}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o determinante (20) em vez da área (10) ao multiplicar pela altura, resultando em 60.

Resposta: 30 unidades de volume (alternativa D).

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