Questão de Matemática — Triângulos — FUNDATEC 2023

Raio do círculo inscrito em triângulo equilátero

Gabarito: letra C. O raio do círculo inscrito em um triângulo equilátero de lado $l$ é $r = \frac{l\sqrt{3}}{6}$. Essa relação vem do fato de que, no triângulo equilátero, o incentro (centro do círculo inscrito) coincide com o baricentro, e o raio do círculo inscrito é um terço da altura do triângulo. Como a altura do triângulo equilátero é $h = \frac{l\sqrt{3}}{2}$, temos $r = \frac{h}{3} = \frac{l\sqrt{3}}{6}$.

Para entender a fundo: o triângulo equilátero tem todos os lados iguais e todos os ângulos internos de 60°. O círculo inscrito tangencia os três lados, e seu centro é o ponto de encontro das bissetrizes, que também é o baricentro (ponto de encontro das medianas) e o ortocentro. A distância do baricentro a cada lado é exatamente o raio do círculo inscrito. Como o baricentro divide cada mediana na razão 2:1, a distância do baricentro ao lado (que é o raio) é um terço da altura total.

A altura de um triângulo equilátero pode ser obtida pelo teorema de Pitágoras: dividindo o triângulo ao meio, formamos um triângulo retângulo com hipotenusa $l$ e um cateto $l/2$; o outro cateto é a altura $h$. Assim, $h^2 + (l/2)^2 = l^2$, logo $h = \frac{l\sqrt{3}}{2}$. Portanto, $r = \frac{h}{3} = \frac{l\sqrt{3}}{6}$.

A pegadinha clássica da banca é confundir o raio do círculo inscrito com o raio do círculo circunscrito (que vale $R = \frac{l\sqrt{3}}{3}$) ou com a própria altura. As alternativas trazem expressões que correspondem a esses outros valores, como veremos.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $3l\sqrt{2}$. Esse valor não corresponde a nenhuma medida notável do triângulo equilátero. Não há relação geométrica que produza $\sqrt{2}$ nesse contexto, pois o triângulo equilátero está ligado a $\sqrt{3}$ (pela altura) e a $\sqrt{2}$ não aparece. É um distrator puro, sem fundamento.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta $l\sqrt{3}$. Esse valor é o dobro da altura do triângulo equilátero ($h = \frac{l\sqrt{3}}{2}$), ou seja, $2h = l\sqrt{3}$. Também não corresponde ao raio do círculo inscrito. O candidato que lembra da altura mas erra a relação com o raio pode cair aqui.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Apresenta $\frac{l\sqrt{3}}{6}$, que é exatamente o raio do círculo inscrito. Como demonstrado, $r = \frac{h}{3} = \frac{l\sqrt{3}}{6}$. Essa é a relação correta entre o lado do triângulo equilátero e o raio do círculo inscrito.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{l\sqrt{3}}{4}$. Esse valor não corresponde ao raio do círculo inscrito nem ao circunscrito. O raio do círculo circunscrito é $\frac{l\sqrt{3}}{3}$, e a altura é $\frac{l\sqrt{3}}{2}$. O valor $\frac{l\sqrt{3}}{4}$ não tem significado geométrico direto nesse contexto; pode ser uma tentativa de confundir com a fórmula da área do triângulo equilátero ($A = \frac{l^2\sqrt{3}}{4}$), mas aqui está com $l$ em vez de $l^2$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta $2l\sqrt{3}$. Esse valor é o quádruplo do raio do círculo inscrito ($4r = \frac{4l\sqrt{3}}{6} = \frac{2l\sqrt{3}}{3}$) e também não corresponde a nenhuma medida notável. É um distrator que exagera o valor, provavelmente para testar se o candidato domina a relação.

Gabarito: letra C