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Questão de Matemática — Funções — FUNDATEC 2023

MatemáticaFunções
Código
qq905891
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Tapejara - RS
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor Municipal de Matemática
Considerando a função exponencial f(x) = (3/2)x, determine f(-2) – f(3).
  1. A275/72.
  2. B275/108.
  3. C-5/6.
  4. D-9/8.
  5. E-211/72.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — -211/72.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a f(-2) - f(3) = -211/72, alternativa E..

A ideia por trás

A função exponencial é aquela em que a variável aparece no expoente, com base fixa. Ela descreve crescimentos ou decaimentos proporcionais: se a base é maior que 1, a função cresce; se está entre 0 e 1, decresce. O valor da função para um expoente negativo é o inverso da potência com expoente positivo, e para expoente inteiro positivo é a base multiplicada por ela mesma o número de vezes indicado. Nesta questão, precisamos calcular dois valores da função e subtraí-los, o que exige aplicar corretamente as propriedades de potências e depois operar com frações de denominadores diferentes.

O que a questão dá

  • função: f(x) = (3/2)^x

  • valores pedidos: x = -2 e x = 3

O que queremos: o valor de f(-2) - f(3)

Passo 1 — Calcular f(-2) invertendo a base

Precisamos do valor de f(-2) para a subtração. Expoente negativo significa o inverso da potência com expoente positivo: a^{-n} = 1/a^n. Então invertemos a fração (3/2) e elevamos ao quadrado.

Por que esta fórmula: A propriedade de potência com expoente negativo: (a/b)^{-n} = (b/a)^n. É a única forma de transformar o expoente negativo em positivo.

f(−2)=(32)−2=(23)2f(-2) = \left(\frac{3}{2}\right)^{-2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{2}

De onde vem cada valor: 32\frac{3}{2} = enunciado: base da função · −2-2 = enunciado: valor de x pedido

f(-2) = ((2)/(3))^2 = frac2^23^2 = (4)/(9) = 4\ /9
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de inverter a base e calcular (3/2)^2 = 9/4, o que daria um valor errado.

Passo 2 — Calcular f(3) elevando a base ao cubo

Precisamos do valor de f(3) para a subtração. Expoente positivo inteiro significa multiplicar a base por ela mesma o número de vezes indicado.

Por que esta fórmula: Definição de potência com expoente inteiro positivo: a^n = a × a × ... (n vezes).

f(3) = ((3)/(2))^3 = frac3^32^3

De onde vem cada valor: 32\frac{3}{2} = enunciado: base da função · 33 = enunciado: valor de x pedido

f(3)=278=27 /8f(3) = \frac{27}{8} = \boxed{27\ /8}
NÃO CAIA NESSA!

Elevar apenas o numerador ou o denominador, esquecendo de elevar ambos.

Passo 3 — Igualar os denominadores das frações

Para subtrair frações, elas precisam ter o mesmo denominador. Os denominadores são 9 e 8, que são primos entre si, então o mínimo múltiplo comum é o produto: 9 × 8 = 72.

Por que esta fórmula: O MMC de números primos entre si é o produto deles. Para transformar cada fração, multiplicamos numerador e denominador pelo fator que falta para chegar a 72.

49=4×89×8=3272,278=27×98×9=24372\frac{4}{9} = \frac{4 \times 8}{9 \times 8} = \frac{32}{72}, \quad \frac{27}{8} = \frac{27 \times 9}{8 \times 9} = \frac{243}{72}

De onde vem cada valor: 49\frac{4}{9} = passo 1 · 278\frac{27}{8} = passo 2

49=3272,278=24372=32 /72e243/72\frac{4}{9} = \frac{32}{72}, \quad \frac{27}{8} = \frac{243}{72} = \boxed{32\ /72 \text{e} 243/72}
NÃO CAIA NESSA!

Usar um denominador comum errado, como 9 × 8 = 72, mas esquecer de multiplicar o numerador pelo mesmo fator.

Passo 4 — Subtrair as frações com mesmo denominador

Com os denominadores iguais, a subtração é feita apenas nos numeradores, mantendo o denominador. Como f(3) é maior que f(-2), o resultado será negativo.

Por que esta fórmula: Para subtrair frações com o mesmo denominador, subtraímos os numeradores e conservamos o denominador.

3272−24372=32−24372\frac{32}{72} - \frac{243}{72} = \frac{32 - 243}{72}

De onde vem cada valor: 3272\frac{32}{72} = passo 3 · 24372\frac{243}{72} = passo 3

32−24372=−21172=−211 /72\frac{32 - 243}{72} = \frac{-211}{72} = \boxed{-211\ /72}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair na ordem errada (243 - 32) e obter um valor positivo, ou errar a conta 32 - 243.

Resposta: f(-2) - f(3) = -211/72, alternativa E.

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