GabaritoD — 840.
Gabarito: letra D — a conta chega a 840 anagramas (alternativa D).
Um anagrama é qualquer reordenação das letras de uma palavra. Quando há letras repetidas, anagramas que trocam apenas as posições das letras iguais não são distintos, então o total de anagramas é dado pela permutação com repetição: divide-se o fatorial do número total de letras pelo produto dos fatoriais das quantidades de cada letra repetida. Nesta questão, fixamos a letra T na primeira posição, restando 7 letras para permutar, com a letra A aparecendo 3 vezes; por isso usamos a fórmula da permutação com repetição para as 7 letras restantes.
palavra: TAPEJARA
primeira letra fixa: T
letra A repetida 3 vezes
O que queremos: o número de anagramas de TAPEJARA que começam com T
O anagrama deve começar com T, então essa posição já está ocupada. Isso reduz o problema: agora só precisamos ordenar as letras que sobram.
Esquecer que T está fixa e contar as 8 letras como livres — isso daria um número muito maior.
Depois de fixar T, sobraram 7 letras para permutar. Precisamos saber quantas são e quais se repetem para aplicar a fórmula correta.
Contar 8 letras no total, esquecendo que T já foi usada.
Como a letra A aparece 3 vezes entre as 7 letras restantes, as permutações que apenas trocam os A's entre si não geram anagramas novos. A fórmula da permutação com repetição divide o fatorial do total pelo fatorial das repetições para eliminar essas contagens duplicadas.
Por que esta fórmula: A fórmula é P = n! / (r1! · r2! · ...), onde n é o número total de elementos e r_i são as quantidades de cada elemento repetido. Aqui n = 7 e há uma repetição de 3 (a letra A), então usamos 7! / 3!.
De onde vem cada valor: = passo 2: 7 letras restantes · = enunciado: a letra A aparece 3 vezes
Usar 8! em vez de 7!, ou esquecer de dividir por 3! — isso leva à alternativa B (5040).
Precisamos do valor numérico de 7! para efetuar a divisão. Fatorial de um número n é o produto de todos os inteiros de 1 até n.
Por que esta fórmula: 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1, por definição de fatorial.
De onde vem cada valor: = passo 2: 7 letras restantes
Errar a multiplicação, por exemplo, trocar 7×6 por 42 e depois errar o resto.
A fórmula exige dividir por 3! para descontar as permutações das letras A repetidas. Precisamos do valor de 3!.
Por que esta fórmula: 3! = 3 × 2 × 1, por definição de fatorial.
De onde vem cada valor: = enunciado: a letra A aparece 3 vezes
Confundir 3! com 3, esquecendo de multiplicar por 2 e 1.
Com os valores de 7! e 3! em mãos, basta efetuar a divisão para obter o número de anagramas distintos.
Por que esta fórmula: A divisão é a operação final da fórmula da permutação com repetição.
De onde vem cada valor: = passo 4: 7! = 5040 · = passo 5: 3! = 6
Dividir por 3 em vez de 6, ou errar a conta de divisão.
Resposta: 840 anagramas (alternativa D)
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