GabaritoE — 2 e 1.
Gabarito: letra E — a conta chega a x = 2 e y = 1, alternativa E..
O máximo divisor comum (MDC) entre dois ou mais números é o maior número que divide todos eles ao mesmo tempo. Quando os números estão fatorados em primos, o MDC é obtido pegando apenas os fatores primos que aparecem em todos os números, cada um elevado ao menor expoente que aparece entre eles. Por exemplo, se um número tem 2³ e outro tem 2⁵, o MDC terá 2³, porque 3 é o menor expoente. Essa regra vale para qualquer quantidade de números e é a base para resolver questões de MDC com fatoração.
A relação que governa é: MDC = produto dos fatores comuns com os menores expoentes. Se um fator não aparece em algum número, ele não entra no MDC. Quando um expoente cresce, o MDC pode crescer ou não, dependendo se ele é o menor entre os números. Por exemplo, se o menor expoente do 2 é 1, o MDC terá 2¹, mesmo que outro número tenha 2⁴. A condição de validade é que os números estejam fatorados em primos, o que já é dado.
Nesta questão, o MDC é 18, que fatorado é 2¹ · 3². Precisamos descobrir quais expoentes x e y fazem com que os menores expoentes dos fatores 2 e 3 sejam exatamente 1 e 2, respectivamente. Isso exige comparar os expoentes de cada fator entre os três números.
P = 2⁴ · 3²
Q = 2³ · 3ˣ · 5
R = 2ʸ · 3³ · 7
MDC(P, Q, R) = 18
O que queremos: os valores de x e y
Para saber quais fatores e expoentes o MDC deve ter, precisamos escrever 18 como produto de primos. Isso nos dá os expoentes que devem ser os menores entre os números.
Por que esta fórmula: 18 é um número pequeno, e fatorar é direto: 18 = 2 · 9 = 2 · 3 · 3 = 2¹ · 3².
De onde vem cada valor: = enunciado: MDC(P, Q, R) = 18
Esquecer que 18 = 2 · 3² e achar que é 2² · 3, o que daria expoentes errados.
O MDC tem 2¹, então o menor expoente do 2 entre P, Q e R deve ser 1. Como P tem 2⁴ e Q tem 2³, o único que pode ter expoente 1 é R, que tem 2ʸ. Por isso, y deve ser 1.
Por que esta fórmula: No MDC, para cada fator comum, pegamos o menor expoente. Aqui, os expoentes do 2 são 4, 3 e y. Para o menor ser 1, y precisa ser 1, pois 4 e 3 são maiores que 1.
De onde vem cada valor: = enunciado: P = 2⁴ · 3² · = enunciado: Q = 2³ · 3ˣ · 5 · = enunciado: R = 2ʸ · 3³ · 7 · = passo 1: MDC tem 2¹
Achar que y poderia ser maior que 1, mas aí o menor expoente seria 3 ou 4, e o MDC teria 2³ ou 2⁴, não 2¹.
O MDC tem 3², então o menor expoente do 3 entre P, Q e R deve ser 2. P tem 3² e R tem 3³, então o expoente x em Q deve ser tal que o menor continue sendo 2. Se x for menor que 2, o menor vira x; se x for maior ou igual a 2, o menor continua 2. Como x é um expoente natural e não pode ser menor que 2, x = 2.
Por que esta fórmula: Para o fator 3, os expoentes são 2, x e 3. O menor deve ser 2. Isso só acontece se x ≥ 2, mas se x > 2, o menor ainda é 2. Porém, x também não pode ser maior que 3? Não importa, pois o menor é 2. Mas x = 2 é a escolha que mantém o menor exatamente 2, e é a única que faz sentido com as alternativas.
De onde vem cada valor: = passo 1: MDC tem 3² · = enunciado: Q = 2³ · 3ˣ · 5 · = enunciado: R = 2ʸ · 3³ · 7
Achar que x poderia ser 1, mas aí o menor expoente do 3 seria 1, e o MDC teria 3¹, não 3².
Resposta: x = 2 e y = 1, alternativa E.
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