Questão de Matemática — Geral — FUNDATEC 2023

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a x = -4 e x = 5, alternativa D..

A ideia por trás

A média aritmética é a medida de tendência central mais usada: somam-se todos os valores do conjunto e divide-se pela quantidade de elementos. Ela indica o valor típico do grupo; se dois grupos têm a mesma média, seus valores se equilibram de forma equivalente. Para comparar médias de grupos com o mesmo número de elementos, basta comparar as somas, pois o denominador é comum. Nesta questão, cada grupo tem 4 elementos, então igualar as médias equivale a igualar as somas dos elementos de cada grupo, o que gera uma equação do 2º grau em x.

O que a questão dá

• grupo A: -6, x, 10, 12

• grupo B: -10, 5, x², 1

O que queremos: os valores reais de x para os quais as médias dos grupos A e B coincidem

Passo 1 — Calcular a soma do grupo A

A média de um grupo é a soma dos valores dividida pela quantidade de elementos. Como os dois grupos têm o mesmo número de elementos (4), comparar as médias é o mesmo que comparar as somas. Então, primeiro somamos os valores do grupo A, que contém a incógnita x.

Por que esta fórmula: A soma é a operação básica de adição de todos os termos do grupo.

De onde vem cada valor: $-6$ = enunciado: primeiro valor do grupo A · $x$ = enunciado: segundo valor do grupo A · $10$ = enunciado: terceiro valor do grupo A · $12$ = enunciado: quarto valor do grupo A

Passo 2 — Calcular a soma do grupo B

Assim como fizemos para o grupo A, precisamos da soma do grupo B para depois igualar as duas somas, já que as médias serão iguais quando as somas forem iguais (mesmo número de elementos).

Por que esta fórmula: A soma é a adição de todos os termos do grupo B.

De onde vem cada valor: $-10$ = enunciado: primeiro valor do grupo B · $5$ = enunciado: segundo valor do grupo B · $x^{2}$ = enunciado: terceiro valor do grupo B · $1$ = enunciado: quarto valor do grupo B

Passo 3 — Igualar as somas dos grupos

Como os dois grupos têm 4 elementos, a média de cada um é a soma dividida por 4. Para que as médias sejam iguais, as somas devem ser iguais, pois o denominador é o mesmo. Então igualamos as expressões obtidas nos passos 1 e 2.

Por que esta fórmula: A condição de igualdade das médias é S_A/4 = S_B/4, que simplifica para S_A = S_B.

De onde vem cada valor: $x + 16$ = passo 1: soma do grupo A · $x^{2} - 4$ = passo 2: soma do grupo B

Passo 4 — Reorganizar a equação

Para resolver a equação do 2º grau, precisamos colocá-la na forma padrão ax² + bx + c = 0. Isso facilita a fatoração ou o uso da fórmula de Bhaskara.

Por que esta fórmula: A forma padrão permite identificar os coeficientes e aplicar métodos de resolução.

De onde vem cada valor: $x^{2}$ = passo 3: termo do lado direito · $-x$ = passo 3: termo do lado esquerdo movido para a direita · $-20$ = passo 3: constante do lado esquerdo movida para a direita

Passo 5 — Fatorar a equação do 2º grau

A equação x² - x - 20 = 0 pode ser resolvida por fatoração, que é mais rápida que Bhaskara. Procuramos dois números que somados dão -1 (coeficiente de x) e multiplicados dão -20 (termo independente). Esses números são -5 e 4, pois (-5) + 4 = -1 e (-5) · 4 = -20.

Por que esta fórmula: A fatoração transforma a equação em um produto de binômios, permitindo encontrar as raízes diretamente.

De onde vem cada valor: $x - 5$ = fator obtido: raiz x = 5 · $x + 4$ = fator obtido: raiz x = -4

Passo 6 — Encontrar as raízes da equação

Com a equação fatorada, aplicamos a propriedade do produto nulo: se o produto é zero, pelo menos um dos fatores é zero. Isso nos dá as soluções para x.

Por que esta fórmula: A propriedade do produto nulo é a base para extrair as raízes de uma equação fatorada.

De onde vem cada valor: $x - 5$ = passo 5: primeiro fator · $x + 4$ = passo 5: segundo fator

$x = 5 \quad \text{ou} \quad x = -4$

Resposta: x = -4 e x = 5, alternativa D.