GabaritoB — 3𝑥² − 27 = 0 possui duas soluções reais.
Gabarito: letra B. A equação 3x² − 27 = 0 é equivalente a x² = 9, cujas soluções são x = ±3, portanto duas soluções reais distintas. As demais alternativas erram ao afirmar que não há soluções reais ou que há soluções reais iguais em casos onde o discriminante não corresponde.
A banca testa o conhecimento sobre o discriminante (Δ = b² − 4ac) e sua relação com as raízes de uma equação do segundo grau. Para cada equação, calculamos Δ e verificamos:
Δ > 0 → duas raízes reais e distintas.
Δ = 0 → uma raiz real dupla (soluções reais e iguais).
Δ < 0 → nenhuma raiz real.
Alternativa | Equação | Δ (discriminante) | Raízes (reais?) | Afirmação da alternativa | Resultado |
|---|---|---|---|---|---|
A | x² + x + 1 = 0 | Δ = 1 − 4 = −3 < 0 | Nenhuma raiz real | "soluções reais e iguais" | ❌ Incorreta |
B | 3x² − 27 = 0 | Δ = 0 − 4·3·(−27) = 324 > 0 | Duas raízes reais (x = ±3) | "duas soluções reais" | ✅ Correta |
C | x² + x = 0 | Δ = 1 − 0 = 1 > 0 | Duas raízes reais (x = 0, −1) | "não possui soluções reais" | ❌ Incorreta |
D | 2x² − 3x + 1 = 0 | Δ = 9 − 8 = 1 > 0 | Duas raízes reais (x = 1, 0,5) | "não possui soluções reais" | ❌ Incorreta |
E | (x + 2)² = 0 | Δ = 16 − 16 = 0 | Uma raiz real dupla (x = −2) | "não possui soluções reais" | ❌ Incorreta |
x² + x + 1 = 0: Δ = 1² − 4·1·1 = 1 − 4 = −3 < 0 → não há soluções reais. A alternativa afirma que há soluções reais e iguais, o que é falso.
3x² − 27 = 0 → dividindo por 3: x² = 9 → x = 3 ou x = −3. Δ = 0² − 4·3·(−27) = 324 > 0 → duas soluções reais distintas. Correta.
x² + x = 0 → x(x + 1) = 0 → x = 0 ou x = −1 (duas raízes reais). Δ = 1² − 4·1·0 = 1 > 0. A alternativa afirma que não possui soluções reais, o que é falso.
2x² − 3x + 1 = 0: Δ = (−3)² − 4·2·1 = 9 − 8 = 1 > 0 → duas raízes reais (x = 1 e x = 0,5). A alternativa afirma que não possui soluções reais, falso.
(x + 2)² = 0 → x² + 4x + 4 = 0: Δ = 16 − 16 = 0 → uma raiz real dupla (x = −2). Portanto, possui solução real (repetida). A alternativa afirma que não possui, falso.
Para resolver rapidamente, calcule o discriminante Δ = b² − 4ac. Se Δ ≥ 0, há pelo menos uma raiz real; se Δ < 0, não há raízes reais. Decore este critério e evite erros nas provas.
Gabarito: letra B.
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