Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — MMC e MDC — FUNDATEC 2023

MatemáticaMMC e MDC
Código
qq906853
Banca
FUNDATEC
Órgão
Água de Ivoti - RS
Ano
2023
Nível
Fundamental
Cargo
Agente Operacional
Quais são, respectivamente, o mínimo múltiplo comum e o máximo divisor comum dos números 12, 15 e 20?
  1. A30 e 4.
  2. B12 e 20.
  3. C40 e 3.
  4. D20 e 5.
  5. E60 e 1.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 60 e 1.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a MMC = 60 e MDC = 1, portanto alternativa E..

A ideia por trás

O mínimo múltiplo comum (MMC) de dois ou mais números é o menor número inteiro positivo (diferente de zero) que é múltiplo de todos eles. Por exemplo, os múltiplos de 12 incluem 12, 24, 36, 48, 60...; os de 15 incluem 15, 30, 45, 60...; os de 20 incluem 20, 40, 60... — o primeiro múltiplo comum é 60. O máximo divisor comum (MDC) é o maior número inteiro que divide todos os números ao mesmo tempo. Os divisores de 12 são {1, 2, 3, 4, 6, 12}; os de 15 são {1, 3, 5, 15}; os de 20 são {1, 2, 4, 5, 10, 20}. O único divisor comum é 1, logo MDC = 1.

Para calcular o MMC pela fatoração, decompomos os números em fatores primos e multiplicamos todos os fatores primos comuns e não comuns, com os maiores expoentes. Para o MDC, multiplicamos apenas os fatores primos que dividem todos os números ao mesmo tempo. Nesta questão, como 12, 15 e 20 não têm fator primo comum além de 1, o MDC é 1, e o MMC é o produto dos fatores primos comuns e não comuns com os maiores expoentes.

O que a questão dá

  • números: 12, 15 e 20

O que queremos: o mínimo múltiplo comum (MMC) e o máximo divisor comum (MDC) de 12, 15 e 20

Passo 1 — Fatorar os números em primos

Para calcular o MMC e o MDC, precisamos conhecer os fatores primos de cada número. Fatorar significa decompor o número em uma multiplicação de números primos, que são os 'tijolos' básicos da aritmética.

Por que esta fórmula: A fatoração é a base para ambos os cálculos: o MMC usa todos os fatores com os maiores expoentes, e o MDC usa apenas os fatores comuns a todos.

12=22⋅3,15=3⋅5,20=22⋅512 = 2^{2} \cdot 3, \quad 15 = 3 \cdot 5, \quad 20 = 2^{2} \cdot 5

De onde vem cada valor: 1212 = enunciado: 12 · 1515 = enunciado: 15 · 2020 = enunciado: 20

12=22⋅3,15=3⋅5,20=22⋅512 = 2^{2} \cdot 3, \quad 15 = 3 \cdot 5, \quad 20 = 2^{2} \cdot 5

12 = 2²·3, 15 = 3·5, 20 = 2²·5

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de fatorar completamente, como escrever 12 = 2·6 em vez de 2²·3.

Passo 2 — Calcular o MMC pelos fatores com maiores expoentes

O MMC é o menor número que é múltiplo de todos. Para isso, ele precisa conter todos os fatores primos que aparecem em qualquer um dos números, com o maior expoente que aparecer. Assim, garantimos que ele é divisível por cada número.

Por que esta fórmula: O MMC é o produto dos fatores primos comuns e não comuns, cada um com o maior expoente encontrado. Isso é diferente do MDC, que só usa os fatores comuns a todos.

MMC=22⋅3⋅5MMC = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5

De onde vem cada valor: 222^{2} = passo 1: 12 e 20 têm 2², que é o maior expoente de 2 · 33 = passo 1: 12 e 15 têm 3¹ · 55 = passo 1: 15 e 20 têm 5¹

MMC=22⋅3⋅5=4⋅3⋅5=60MMC = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = \boxed{60}
NÃO CAIA NESSA!

Usar apenas os fatores comuns (2 e 3) e esquecer o 5, resultando em 12, que não é múltiplo de 20.

Passo 3 — Calcular o MDC pelos fatores comuns a todos

O MDC é o maior número que divide todos os números ao mesmo tempo. Para isso, ele só pode conter fatores primos que aparecem em todos os números, com o menor expoente. Como não há fator primo comum a 12, 15 e 20, o MDC é 1.

Por que esta fórmula: O MDC é o produto dos fatores primos comuns a todos os números, com o menor expoente. Se não há fatores comuns, o MDC é 1.

MDC=1MDC = 1

De onde vem cada valor: 11 = passo 1: nenhum fator primo é comum a 12, 15 e 20

MDC=1=1MDC = 1 = \boxed{1}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir com o MDC de apenas dois números, como MDC(12,20)=4, esquecendo que o 15 não é divisível por 4.

Resposta: MMC = 60 e MDC = 1, portanto alternativa E.

Link permanente: /questoes/qq906853