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Questão de Matemática — Geometria Plana — FUNDATEC 2023

MatemáticaGeometria Plana
Código
qq907016
Banca
FUNDATEC
Órgão
CAU-RS
Ano
2023
Nível
Superior
Em uma escola de Ensino Fundamental, as professoras elaboraram uma brincadeira para a festa de São João que consiste em acertar alvos circulares. A maior pontuação é dada para aquele que acertar com uma bola o alvo 1, que contém 14 cm de diâmetro e a menor pontuação é dada para aquele que acertar o alvo 2 com 36 cm de diâmetro. Considerando ϖ = 3,14 na resolução, a diferença entre as áreas do alvo 2 e o alvo 1 é de:
  1. A69,28 cm².
  2. B800 cm².
  3. C863,50 cm².
  4. D3.454 cm².
  5. E1.171,22 cm².
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 863,50 cm².

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 863,50 cm² (alternativa C).

A ideia por trás

A área do círculo é a medida da superfície interna da circunferência, ou seja, quanto espaço ela ocupa no plano. Ela depende do raio (distância do centro até a borda) e é calculada pela fórmula A = π·r², onde π ≈ 3,14. Como o raio está elevado ao quadrado, a área cresce muito rápido: se o raio dobra, a área quadruplica. Nesta questão, os dados fornecidos são os diâmetros (a distância de uma borda à outra passando pelo centro), mas a fórmula exige o raio, que é a metade do diâmetro. Por isso, o passo crucial é dividir cada diâmetro por 2 antes de calcular as áreas, e depois subtrair a área menor da maior.

O que a questão dá

  • diâmetro do alvo 1 = 14 cm

  • diâmetro do alvo 2 = 36 cm

  • π = 3,14

O que queremos: a diferença entre as áreas do alvo 2 e do alvo 1

Passo 1 — Calcular o raio de cada alvo

A fórmula da área do círculo usa o raio, não o diâmetro. O raio é a distância do centro até a borda, e o diâmetro é o dobro disso. Como o enunciado deu os diâmetros, precisamos dividir cada um por 2 para obter os raios.

Por que esta fórmula: O raio é definido como metade do diâmetro: r = d/2. Essa relação é direta da definição de diâmetro.

r=d2r = \frac{d}{2}

De onde vem cada valor: dd = enunciado: diâmetro do alvo 1 = 14 cm; diâmetro do alvo 2 = 36 cm

r1=142=7,r2=362=18r_1 = \frac{14}{2} = 7, \quad r_2 = \frac{36}{2} = 18

r_1 = 7 cm, r_2 = 18 cm

NÃO CAIA NESSA!

Usar o diâmetro diretamente na fórmula da área, esquecendo de dividir por 2.

Passo 2 — Calcular a área do alvo 1

Com o raio do alvo 1 em mãos, podemos aplicar a fórmula da área do círculo. A área mede a superfície interna do círculo, e a fórmula A = π·r² é a relação padrão para isso.

Por que esta fórmula: A área de um círculo é sempre π vezes o quadrado do raio. Essa é a fórmula fundamental da geometria do círculo.

A1=π⋅r12A_1 = \pi \cdot r_1^{2}

De onde vem cada valor: π\pi = enunciado: 3,14 · r1r_1 = passo 1: 7 cm

A1=3,14⋅72=3,14⋅49=153,86 cm2A_1 = 3{,}14 \cdot 7^{2} = 3{,}14 \cdot 49 = \boxed{153{,}86\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Elevar o diâmetro ao quadrado em vez do raio, resultando em área 4 vezes maior.

Passo 3 — Calcular a área do alvo 2

Assim como fizemos para o alvo 1, precisamos da área do alvo 2 para depois comparar. O raio do alvo 2 é maior, então a área será bem maior, pois o raio está ao quadrado.

Por que esta fórmula: Mesma fórmula da área do círculo, agora com o raio do alvo 2.

A2=π⋅r22A_2 = \pi \cdot r_2^{2}

De onde vem cada valor: π\pi = enunciado: 3,14 · r2r_2 = passo 1: 18 cm

A2=3,14⋅182=3,14⋅324=1.017,36 cm2A_2 = 3{,}14 \cdot 18^{2} = 3{,}14 \cdot 324 = \boxed{1.017{,}36\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir a ordem dos alvos ou usar o raio do alvo 1 no lugar do 2.

Passo 4 — Subtrair a área menor da maior

A questão pede a diferença entre as áreas do alvo 2 e do alvo 1. Como o alvo 2 é maior, subtraímos a área do alvo 1 da área do alvo 2 para obter um valor positivo.

Por que esta fórmula: A diferença entre dois valores é obtida pela subtração do menor do maior.

ΔA=A2−A1\Delta A = A_2 - A_1

De onde vem cada valor: A2A_2 = passo 3: 1.017,36 cm² · A1A_1 = passo 2: 153,86 cm²

ΔA=1.017,36−153,86=863,50 cm2\Delta A = 1.017{,}36 - 153{,}86 = \boxed{863{,}50\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair na ordem inversa, obtendo um valor negativo, ou errar na subtração dos decimais.

Resposta: 863,50 cm² (alternativa C)

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