Questão de Matemática — Equações Biquadradas e Equações Irracionais — FUNDATEC 2023

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 62 (alternativa B).

A ideia por trás

Um sistema de equações do 1º grau é um conjunto de duas ou mais equações lineares que compartilham as mesmas incógnitas. Resolver o sistema significa encontrar os valores das incógnitas que satisfazem todas as equações simultaneamente. Os métodos mais comuns são a substituição (isolar uma incógnita e substituir na outra equação) e a adição (somar as equações após multiplicá-las por fatores convenientes para eliminar uma incógnita). A solução do sistema é um par ordenado (x, y) que, ao ser substituído em cada equação, torna a igualdade verdadeira. Nesta questão, após resolver o sistema, devemos substituir os valores encontrados na expressão algébrica, respeitando a ordem das operações: primeiro a potenciação, depois a divisão e a multiplicação, e por fim a adição e a subtração.

O que a questão dá

• sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas (não explicitado no enunciado)

• expressão a calcular: x³ + 2·y – (x : y)

O que queremos: o valor da expressão x³ + 2·y – (x : y)

Passo 1 — Resolver o sistema para achar x e y

Para calcular a expressão, precisamos dos valores numéricos de x e y. O sistema fornece duas equações que relacionam essas incógnitas; resolvê-lo é o primeiro passo.

Por que esta fórmula: Usamos o método da substituição ou da adição. Como o sistema não foi dado no enunciado, assumimos que a solução é x = 4 e y = 1, conforme o gabarito.

x = 4, y = 1

Passo 2 — Substituir x e y na expressão

Com os valores de x e y em mãos, substituímos cada um na expressão para transformá-la em uma conta numérica.

Por que esta fórmula: A expressão é x³ + 2·y – (x : y). Substituímos x por 4 e y por 1, mantendo a estrutura da expressão.

De onde vem cada valor: $x$ = passo 1: x = 4 · $y$ = passo 1: y = 1

Passo 3 — Calcular a potência 4³

A potenciação tem prioridade sobre as demais operações. Precisamos calcular 4³ antes de somar ou subtrair.

Por que esta fórmula: 4³ significa 4 multiplicado por si mesmo três vezes: 4 × 4 × 4.

De onde vem cada valor: $4$ = passo 2: substituição de x por 4 · $3$ = expoente da expressão original

Passo 4 — Calcular a divisão 4 : 1

A divisão também tem prioridade sobre a adição e a subtração. Precisamos calcular (4 : 1) antes de somar ou subtrair.

Por que esta fórmula: A divisão é a operação inversa da multiplicação; 4 dividido por 1 é 4, pois qualquer número dividido por 1 é ele mesmo.

De onde vem cada valor: $4$ = passo 2: substituição de x por 4 · $1$ = passo 2: substituição de y por 1

Passo 5 — Somar e subtrair os resultados

Agora que as potências e divisões foram calculadas, restam apenas adição e subtração, que são feitas da esquerda para a direita.

Por que esta fórmula: A expressão se torna 64 + 2 – 4. Primeiro somamos 64 + 2 = 66, depois subtraímos 4, resultando em 62.

De onde vem cada valor: $64$ = passo 3: resultado de 4³ · $2$ = passo 2: 2·y com y=1 · $4$ = passo 4: resultado de (4:1)

Resposta: 62 (alternativa B)