Questão de Matemática — Raciocínio Lógico — FUNDATEC 2023

Conjuntos Numéricos: Classificação e Pertinência

Gabarito: letra E — estão corretas apenas as assertivas III e IV. A questão testa a hierarquia dos conjuntos numéricos: todo número racional (como ¾) é real, e todo número irracional também é real, pois o conjunto dos reais é a união dos racionais com os irracionais. As assertivas I e II erram ao afirmar, respectivamente, que todo real é positivo e que os inteiros negativos pertencem aos naturais.

A base para resolver está na definição dos conjuntos numéricos. O conjunto dos números naturais (ℕ) é formado pelos números inteiros não negativos: 0, 1, 2, 3, ... . O conjunto dos números inteiros (ℤ) inclui os naturais e seus opostos: ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ... . O conjunto dos números racionais (ℚ) é formado por todos os números que podem ser escritos como fração a/b, com a e b inteiros e b ≠ 0 — isso inclui os inteiros (pois todo inteiro n pode ser escrito como n/1), as frações, os decimais exatos e as dízimas periódicas. O conjunto dos números irracionais (ℝ − ℚ) é formado pelos números que não podem ser expressos como fração de inteiros, como √2, π e e; sua representação decimal é infinita e não periódica. Por fim, o conjunto dos números reais (ℝ) é a reunião dos racionais com os irracionais: ℝ = ℚ ∪ (ℝ − ℚ), com ℚ ∩ (ℝ − ℚ) = ∅.

A pegadinha clássica desta questão está na assertiva II: ela mistura a relação entre ℕ e ℤ. Os números negativos pertencem aos inteiros, mas não aos naturais — o conjunto dos naturais não contém números negativos. Já a assertiva I é uma generalização indevida: o conjunto dos reais contém números positivos, negativos e o zero; afirmar que todo real é positivo é falso, pois existem infinitos números reais negativos (como −1, −2,5, −√3).

Assertiva I — ❌ Incorreta

A assertiva afirma que todo número real é positivo. Isso é falso: o conjunto dos números reais inclui números negativos (ex.: −1, −3,7, −√2) e o zero, que não é positivo nem negativo. A banca explora a confusão entre "o conjunto dos reais" e "o conjunto dos reais positivos" (ℝ₊), que é apenas um subconjunto dos reais.

Assertiva II — ❌ Incorreta

A assertiva afirma que os números negativos inteiros pertencem ao conjunto dos números naturais e também ao conjunto dos inteiros. A primeira parte é falsa: os números naturais são apenas os inteiros não negativos (0, 1, 2, ...), portanto os negativos não pertencem a ℕ. A segunda parte é verdadeira: os negativos pertencem a ℤ. Como a assertiva exige que ambas as condições sejam verdadeiras (usa o conectivo "e"), ela é incorreta. A pegadinha está em afirmar que os negativos pertencem aos naturais, o que contraria a definição de ℕ.

Assertiva III — ✅ Correta

O número ¾ é uma fração com numerador e denominador inteiros (3 e 4, com denominador ≠ 0). Portanto, por definição, é um número racional. Todo número racional também é real, mas a assertiva apenas afirma que ¾ é racional, o que está correto.

Assertiva IV — ✅ Correta

Os números irracionais são aqueles que não podem ser expressos como fração de inteiros (ex.: √2, π, e). O conjunto dos números reais é a união dos racionais com os irracionais, logo todo número irracional pertence ao conjunto dos reais. A assertiva está correta.

Gabarito: letra E — corretas apenas as assertivas III e IV.