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Questão de Matemática — Álgebra — FUNDATEC 2023

MatemáticaÁlgebra
Código
qq907073
Banca
FUNDATEC
Órgão
Eletrocar
Ano
2023
Nível
Superior
Considerando que o dobro de x somado ao quádruplo de y seja igual a 2 e que o triplo de x subtraído de y resulte em -4, o valor de x + y é igual a:
  1. A1.
  2. B-1.
  3. CZero.
  4. D2.
  5. E-2.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — Zero.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a x + y = 0, alternativa C..

A ideia por trás

Um sistema de equações lineares é um conjunto de duas ou mais equações que compartilham as mesmas incógnitas. Aqui, as incógnitas são x e y, e cada equação representa uma condição que os valores de x e y devem satisfazer ao mesmo tempo. Resolver o sistema significa encontrar o par (x, y) que torna ambas as equações verdadeiras. O método da substituição consiste em isolar uma incógnita em uma equação e substituí-la na outra, transformando o problema em uma equação com uma só incógnita. Nesta questão, o enunciado descreve duas relações entre x e y, que viram as equações do sistema; depois de resolver, precisamos calcular a soma x + y, que é o que a questão pede.

O que a questão dá

  • dobro de x somado ao quádruplo de y = 2

  • triplo de x subtraído de y = -4

O que queremos: o valor de x + y

Passo 1 — Montar as equações do sistema

O enunciado descreve duas relações entre x e y em linguagem comum. Precisamos traduzi-las para a linguagem matemática, porque é com as equações que vamos trabalhar. 'O dobro de x' é 2x, 'o quádruplo de y' é 4y, e 'somado' indica adição, então a primeira equação é 2x + 4y = 2. 'O triplo de x' é 3x, 'subtraído de y' indica subtração, e 'resulta em -4' dá a segunda equação: 3x - y = -4.

Por que esta fórmula: Cada frase do enunciado vira uma equação linear, porque relaciona as incógnitas com uma igualdade. Não há outra fórmula aqui; é a tradução direta do texto.

{2x+4y=23x−y=−4\begin{cases} 2x + 4y = 2 \\ 3x - y = -4 \end{cases}

De onde vem cada valor: 2x2x = enunciado: 'o dobro de x' · 4y4y = enunciado: 'o quádruplo de y' · 22 = enunciado: 'seja igual a 2' · 3x3x = enunciado: 'o triplo de x' · −y-y = enunciado: 'subtraído de y' · −4-4 = enunciado: 'resulte em -4'

NÃO CAIA NESSA!

Trocar os coeficientes: por exemplo, escrever 4x + 2y = 2 em vez de 2x + 4y = 2. Leia com atenção o que cada termo representa.

Passo 2 — Isolar y na segunda equação

Para usar o método da substituição, precisamos de uma equação com uma incógnita isolada. A segunda equação tem y com coeficiente -1, então é mais fácil isolá-la. Isolar y significa deixá-la sozinha de um lado da igualdade, o que nos dá uma expressão para y em função de x.

Por que esta fórmula: Da equação 3x - y = -4, subtraímos 3x dos dois lados para eliminar o 3x do lado esquerdo, obtendo -y = -4 - 3x. Depois multiplicamos por -1 para obter y positivo: y = 4 + 3x.

y=4+3xy = 4 + 3x

De onde vem cada valor: 44 = enunciado: -4, com o sinal trocado ao multiplicar por -1 · 3x3x = enunciado: 3x, com o sinal trocado ao multiplicar por -1

y=4+3xy = 4 + 3x
y=4 +3xy = \boxed{4\ + 3\text{x}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao passar o 3x para o outro lado: alguns escrevem y = -4 - 3x, mas o correto é y = 4 + 3x, porque multiplicamos por -1.

Passo 3 — Substituir y na primeira equação

Agora que temos y em função de x, podemos substituir essa expressão na primeira equação. Isso elimina a incógnita y e nos deixa com uma equação apenas com x, que sabemos resolver.

Por que esta fórmula: Na primeira equação 2x + 4y = 2, trocamos y por (4 + 3x), porque são equivalentes. Assim, a equação fica com uma só incógnita.

2x+4(4+3x)=22x + 4(4 + 3x) = 2

De onde vem cada valor: 2x2x = passo 1: primeira equação · 44 = passo 1: coeficiente de y na primeira equação · (4+3x)(4 + 3x) = passo 2: expressão de y

2x+4(4+3x)=22x + 4(4 + 3x) = 2
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de aplicar a propriedade distributiva: 4(4 + 3x) = 16 + 12x, não 4 + 12x.

Passo 4 — Resolver a equação para x

Com a equação 2x + 16 + 12x = 2, precisamos encontrar o valor de x que a satisfaz. Isso envolve simplificar os termos semelhantes e isolar x.

Por que esta fórmula: Somamos os termos com x: 2x + 12x = 14x. Depois subtraímos 16 dos dois lados para isolar o termo com x: 14x = 2 - 16 = -14. Por fim, dividimos por 14: x = -1.

x=−1414x = \frac{-14}{14}

De onde vem cada valor: −14-14 = passo 3: 2 - 16 · 1414 = passo 3: 2 + 12

x=−1414x = \frac{-14}{14}
x=−1x = \boxed{-1}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma: 2x + 12x = 14x, não 14x². E cuidado com o sinal: 2 - 16 = -14.

Passo 5 — Calcular y com o valor de x

Já temos x = -1. Para achar y, usamos a expressão do passo 2, que relaciona y com x. Isso nos dá o valor de y que completa o par solução.

Por que esta fórmula: Substituímos x por -1 em y = 4 + 3x: y = 4 + 3(-1) = 4 - 3 = 1.

y=4+3xy = 4 + 3x

De onde vem cada valor: 44 = passo 2 · 33 = passo 2 · xx = passo 4: -1

y=4+3⋅(−1)y = 4 + 3 \cdot (-1)
y=1y = \boxed{1}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal na multiplicação: 3 · (-1) = -3, não +3. Isso levaria a y = 7.

Passo 6 — Somar x e y

A questão pede o valor de x + y, não os valores individuais. Agora que temos x = -1 e y = 1, basta somá-los. Esse é o passo final e o mais importante, pois muitos esquecem de fazer a soma.

Por que esta fórmula: A soma é direta: x + y = -1 + 1 = 0.

x+y=−1+1x + y = -1 + 1

De onde vem cada valor: −1-1 = passo 4 · 11 = passo 5

x+y=−1+1=0x + y = -1 + 1 = \boxed{0}
NÃO CAIA NESSA!

Parar no x = -1 e marcar a alternativa B, esquecendo de somar com y. Sempre leia o que a questão pede.

Resposta: x + y = 0, alternativa C.

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