Questão de Raciocínio Lógico — Diagramas de Venn (Conjuntos) — FUNDATEC 2023

Conjunto verdade de uma sentença aberta com conjunção

Gabarito: letra D — o conjunto verdade é {-2}. A sentença aberta é uma conjunção (∧), e o conjunto verdade de uma conjunção é a interseção dos conjuntos verdade de cada sentença aberta: primeiro resolvemos cada inequação separadamente e depois tomamos os elementos do universo que satisfazem ambas.

A questão trabalha com sentenças abertas, que são expressões com variáveis que só se tornam proposições (com valor V ou F) quando atribuímos um valor à variável. O conjunto verdade de uma sentença aberta é o conjunto de todos os valores do universo que a tornam verdadeira. Quando temos uma conjunção $p(x) \wedge q(x)$, o conjunto verdade é a interseção dos conjuntos verdade de $p(x)$ e $q(x)$: $V_{p \wedge q} = V_p \cap V_q$. Esse é o conceito central que a banca cobra.

Vamos resolver passo a passo. O universo é $U = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}$.

1ª sentença: $x - 4 < -2$

Somando 4 nos dois lados: $x < 2$. Os elementos de $U$ que satisfazem são: $-2, -1, 0, 1$. Portanto, $V_p = \{-2, -1, 0, 1\}$.

2ª sentença: $x^2 > 3$

Calculando o quadrado de cada elemento de $U$:

• $(-2)^2 = 4 > 3$ ✅

• $(-1)^2 = 1 \not> 3$ ❌

• $0^2 = 0 \not> 3$ ❌

• $1^2 = 1 \not> 3$ ❌

• $2^2 = 4 > 3$ ✅

• $3^2 = 9 > 3$ ✅

• $4^2 = 16 > 3$ ✅

• $5^2 = 25 > 3$ ✅

Portanto, $V_q = \{-2, 2, 3, 4, 5\}$.

Conjunção: $V_{p \wedge q} = V_p \cap V_q$

$V_p \cap V_q = \{-2, -1, 0, 1\} \cap \{-2, 2, 3, 4, 5\} = \{-2\}$.

O único elemento que satisfaz as duas sentenças simultaneamente é o $-2$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O conjunto {-2, 2, 3, 4, 5} é exatamente o conjunto verdade da segunda sentença ($x^2 > 3$), mas a questão pede a conjunção das duas. A banca troca o conjunto verdade de uma das sentenças pelo conjunto verdade da conjunção.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O conjunto {-2, -1, 0, 1} é o conjunto verdade da primeira sentença ($x - 4 < -2$). Novamente, é o conjunto verdade de uma das sentenças, não da conjunção.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O conjunto {-2, 2} é a interseção dos conjuntos verdade se você considerar apenas os elementos que satisfazem $x^2 > 3$ e que também são menores que 2, mas esquece que $-1$, $0$ e $1$ não satisfazem $x^2 > 3$. Na verdade, a interseção correta é apenas {-2}, pois $2$ não satisfaz $x - 4 < -2$ (pois $2 - 4 = -2$, que não é menor que $-2$).

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como calculado, a interseção dos conjuntos verdade é {-2}. O elemento $-2$ é o único do universo que satisfaz simultaneamente $x - 4 < -2$ (pois $-2 - 4 = -6 < -2$) e $x^2 > 3$ (pois $(-2)^2 = 4 > 3$).

Alternativa E — ❌ Incorreta

O conjunto {3} contém apenas o elemento 3, que satisfaz $x^2 > 3$ (pois $9 > 3$), mas não satisfaz $x - 4 < -2$ (pois $3 - 4 = -1$, que não é menor que $-2$). Portanto, não pode ser o conjunto verdade da conjunção.

Gabarito: letra D