GabaritoB — 332.
Gabarito: letra B — a conta chega a 332 (alternativa B).
Uma dízima periódica é um número decimal com infinitas casas que se repetem em um padrão, chamado período. Quando há algarismos entre a vírgula e o período que não se repetem, temos uma dízima composta — é o caso de 3,012121…, em que o '0' é o anteperíodo e '12' é o período. Toda dízima periódica pode ser escrita como uma fração, chamada fração geratriz, e essa fração é única quando está na forma irredutível.
A regra para achar a fração geratriz de uma dízima composta é: no numerador, subtraímos do número sem vírgula a parte que não faz parte do período; no denominador, colocamos tantos 9 quantos forem os algarismos do período, seguidos de tantos 0 quantos forem os algarismos do anteperíodo. Por exemplo, para 0,12333…, o numerador seria 123 − 12 e o denominador 900. Essa regra vem do fato de que multiplicar a dízima por potências de 10 desloca a vírgula e permite eliminar a parte periódica por subtração.
Nesta questão, precisamos transformar a dízima em fração geratriz e depois simplificá-la até que numerador e denominador sejam primos entre si, pois o enunciado garante que x e y são primos entre si. A diferença x − y só pode ser calculada com a fração irredutível.
x e y são primos entre si
x/y = 3,012121…
O que queremos: o valor da diferença x − y
Para aplicar a regra da fração geratriz, precisamos saber quais algarismos se repetem (período) e quais vêm antes sem repetir (anteperíodo). Na dízima 3,012121…, depois da vírgula temos '0' que não se repete, e '12' que se repete infinitamente.
anteperíodo = 0, período = 12
Confundir o anteperíodo com o período, por exemplo achar que o período é '012' ou que não há anteperíodo.
O numerador da fração geratriz é formado pelo número sem a vírgula (3012) menos a parte que não faz parte do período (30). Isso porque, ao subtrair, eliminamos a parte não periódica e ficamos apenas com a parte que se repete.
Por que esta fórmula: A regra da fração geratriz para dízimas compostas é: numerador = (número sem vírgula) − (parte não periódica). Aqui, o número sem vírgula é 3012 e a parte não periódica é 30 (o '3' e o '0' antes do período).
De onde vem cada valor: = enunciado: 3,012121… sem a vírgula · = enunciado: parte inteira 3 e anteperíodo 0, formando 30
Usar 3012 − 3 ou 3012 − 12, esquecendo de incluir o anteperíodo na parte a subtrair.
O denominador é formado por tantos 9 quantos forem os algarismos do período, seguidos de tantos 0 quantos forem os algarismos do anteperíodo. Isso vem do processo de multiplicar a dízima por potências de 10 para eliminar a parte periódica.
Por que esta fórmula: Para dízimas compostas, o denominador é 99…900…0, com o número de 9 igual ao tamanho do período e o número de 0 igual ao tamanho do anteperíodo. Aqui, período tem 2 algarismos (12) e anteperíodo tem 1 (0), então denominador = 990.
De onde vem cada valor: = passo 1: período '12' tem 2 algarismos · = passo 1: anteperíodo '0' tem 1 algarismo
Inverter a ordem: colocar 0 antes dos 9, ou usar quantidade errada de 9 e 0.
Com numerador e denominador calculados, montamos a fração que representa a dízima. Essa fração ainda não está na forma irredutível, então precisamos simplificá-la no próximo passo.
Por que esta fórmula: A fração geratriz é simplesmente o numerador sobre o denominador, conforme a regra.
De onde vem cada valor: = passo 2 · = passo 3
Esquecer que essa fração ainda pode ser simplificada.
O enunciado diz que x e y são primos entre si, ou seja, a fração x/y deve estar na forma mais simplificada. Precisamos dividir numerador e denominador pelo máximo divisor comum (MDC) deles. O MDC de 2982 e 990 é 6, então dividimos ambos por 6.
Por que esta fórmula: Para simplificar, dividimos pelo MDC. 2982 ÷ 6 = 497 e 990 ÷ 6 = 165. Como 497 e 165 não têm divisores comuns (497 = 7 × 71, 165 = 3 × 5 × 11), a fração 497/165 é irredutível.
De onde vem cada valor: = passo 4 · = passo 4 · = MDC de 2982 e 990
Não simplificar ou simplificar por um número menor que o MDC, obtendo uma fração ainda redutível.
Agora que temos a fração irredutível, sabemos que x = 497 e y = 165, pois são primos entre si. A diferença pedida é a subtração desses dois números.
Por que esta fórmula: A diferença é simplesmente x − y, com os valores obtidos da fração simplificada.
De onde vem cada valor: = passo 5: numerador da fração irredutível · = passo 5: denominador da fração irredutível
Usar a fração não simplificada: 2982 − 990 = 1992, que é a alternativa D.
Resposta: 332 (alternativa B)
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