Questão de Matemática — Geometria Espacial — FUNDATEC 2023

Volume do cilindro e a duplicação das dimensões

Gabarito: letra E — o volume fica multiplicado por 8. Isso ocorre porque o volume do cilindro é dado por $V = \pi r^2 h$; ao duplicar o raio ($r \to 2r$) e a altura ($h \to 2h$), o novo volume é $V' = \pi (2r)^2 (2h) = 8 \pi r^2 h = 8V$. A fórmula do volume do cilindro é a base conceitual desta questão.

O volume de um cilindro circular reto é o produto da área da base pela altura: $V = A_b \cdot h = \pi r^2 h$. A área da base é um círculo de raio $r$, e a altura é $h$. Quando duplicamos o raio, a área da base passa a ser $\pi (2r)^2 = 4\pi r^2$, ou seja, quadruplica. Quando duplicamos a altura, o volume, que já foi quadruplicado pela base, é multiplicado por 2 novamente, resultando em $4 \times 2 = 8$ vezes o volume original.

A pegadinha clássica aqui é esquecer que o raio aparece ao quadrado na fórmula. Muitos candidatos, ao verem "duplica o raio e a altura", pensam em $2 \times 2 = 4$ (alternativa C) ou em $2 + 2 = 4$, mas o correto é considerar o quadrado do raio: $2^2 \times 2 = 8$. A banca explora exatamente essa confusão entre o fator linear e o fator quadrático.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o volume não se altera. Isso só seria verdade se as dimensões não mudassem. Como ambas as dimensões são duplicadas, o volume necessariamente aumenta. O volume é diretamente proporcional ao quadrado do raio e à altura, então qualquer aumento em $r$ ou $h$ altera o volume.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que o volume duplica. Isso ocorreria se apenas uma das dimensões fosse duplicada e a outra permanecesse constante (por exemplo, duplicar apenas a altura). Mas aqui ambas são duplicadas, e o efeito combinado é maior: o raio ao quadrado contribui com um fator 4, e a altura com um fator 2, totalizando 8.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que o volume quadruplica. Esse seria o resultado se apenas o raio fosse duplicado (pois $r^2$ vira $4r^2$), mantendo a altura constante. Mas como a altura também é duplicada, o volume é multiplicado por 4 e depois por 2, chegando a 8. A alternativa C é um distrator clássico para quem considera apenas o efeito do raio.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que o volume fica multiplicado por 6. Esse número não corresponde a nenhuma combinação simples dos fatores: seria o resultado de $2 \times 3$, mas não há triplicação de nenhuma dimensão. O correto é $2^2 \times 2 = 8$. A alternativa D é um número aleatório, sem fundamento na fórmula.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O volume fica multiplicado por 8. Demonstração: $V = \pi r^2 h$. Com $r' = 2r$ e $h' = 2h$, temos $V' = \pi (2r)^2 (2h) = \pi \cdot 4r^2 \cdot 2h = 8\pi r^2 h = 8V$. Portanto, o novo volume é exatamente 8 vezes o original.

Gabarito: letra E