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Questão de Matemática — MMC e MDC — FUNDATEC 2023

MatemáticaMMC e MDC
Código
qq907884
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Coronel Pilar - RS
Ano
2023
Nível
Fundamental
Qual é o máximo divisor comum dos números 28 e 32?
  1. A4.
  2. B6.
  3. C8.
  4. D14.
  5. E18.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 4.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 4 (alternativa A).

A ideia por trás

O máximo divisor comum (MDC) entre dois números é o maior número inteiro que divide ambos sem deixar resto. Ele representa o maior tamanho de 'pedaço' que cabe exatamente nos dois números, como o maior comprimento de corda que divide dois pedaços de tecido sem sobrar nada. Para encontrá-lo, o método mais direto é a fatoração em primos: decompomos cada número em fatores primos e multiplicamos os fatores comuns, cada um elevado ao menor expoente que aparece. Por exemplo, se um número tem 2² e o outro 2⁵, o fator comum é 2², pois é o maior que divide ambos. Nesta questão, precisamos fatorar 28 e 32, identificar os fatores comuns e escolher os menores expoentes.

O que a questão dá

  • números: 28 e 32

O que queremos: o máximo divisor comum (MDC) de 28 e 32

Passo 1 — Fatorar o número 28 em primos

Para calcular o MDC, precisamos ver a 'receita' de cada número em fatores primos. Fatorar é dividir o número pelos menores primos possíveis até sobrar 1; isso mostra quais 'ingredientes' compõem o número.

Por que esta fórmula: A fatoração em primos é a base do cálculo do MDC: ela revela os fatores comuns e seus expoentes.

28=2×2×7=22×728 = 2 \times 2 \times 7 = 2^{2} \times 7

De onde vem cada valor: 2828 = enunciado: número 28 · 222^{2} = 28 dividido por 2 dá 14, dividido por 2 dá 7, e 7 é primo · 77 = resto da divisão, primo

28=2×2×728 = 2 \times 2 \times 7
28=22×728 = \boxed{2^{2} \times 7}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o fator 7, achando que 28 = 2^2 × 7 é desnecessário; mas ele é importante para saber que 7 não é comum.

Passo 2 — Fatorar o número 32 em primos

Assim como fizemos com 28, precisamos da fatoração de 32 para comparar os fatores comuns.

Por que esta fórmula: A fatoração em primos é o método padrão para decompor números e encontrar o MDC.

32=2×2×2×2×2=2532 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^{5}

De onde vem cada valor: 3232 = enunciado: número 32 · 252^{5} = 32 dividido por 2 cinco vezes seguidas dá 1

32=2×2×2×2×232 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2
32=2 532 = \boxed{2\ ^{5}}
NÃO CAIA NESSA!

Contar errado o número de fatores 2; 32 = 2^5, não 2^4.

Passo 3 — Identificar os fatores comuns

O MDC só usa os fatores que aparecem nas duas fatorações. Comparando 28 = 2² × 7 e 32 = 2⁵, vemos que o único primo comum é o 2; o 7 não aparece em 32.

Por que esta fórmula: A definição de MDC exige que o divisor divida ambos os números, então só fatores presentes nas duas fatorações podem entrar.

fatores comuns={2}\text{fatores comuns} = \{2\}

De onde vem cada valor: 22 = passo 1 e passo 2: ambos têm o fator 2

fatores comuns\text{fatores comuns} = fator comum: 2

NÃO CAIA NESSA!

Incluir o 7 como fator comum, esquecendo que 32 não tem 7.

Passo 4 — Escolher o menor expoente do fator comum

Para que o divisor seja o maior possível, precisamos pegar a menor potência de 2 que divide ambos. Entre 2² e 2⁵, o menor expoente é 2, então o fator comum é 2².

Por que esta fórmula: Se pegássemos 2⁵, não dividiria 28, pois 28 só tem dois fatores 2. O menor expoente garante que o número divide os dois.

menor expoente=min⁡(2,5)=2\text{menor expoente} = \min(2, 5) = 2

De onde vem cada valor: 22 = passo 1: expoente de 2 em 28 · 55 = passo 2: expoente de 2 em 32

min⁡(2,5)=2=expoente2\min(2, 5) = 2 = \boxed{\text{expoente} 2}
NÃO CAIA NESSA!

Pegar o maior expoente (5) pensando no MMC; no MDC é sempre o menor.

Passo 5 — Calcular o MDC multiplicando os fatores comuns

Com o fator comum 2², o MDC é o produto desses fatores. Como só há um fator, o MDC é 2².

Por que esta fórmula: O MDC é o produto dos fatores comuns com os menores expoentes; aqui, 2².

MDC=22MDC = 2^{2}

De onde vem cada valor: 222^{2} = passo 4: menor expoente do fator comum

MDC=2×2=4MDC = 2 \times 2 = \boxed{4}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular 2² como 2×2=4, mas errar achando que é 2×5=10.

Resposta: 4 (alternativa A)

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