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Questão de Matemática — MMC e MDC — FUNDATEC 2023

MatemáticaMMC e MDC
Código
qq908020
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Espumoso - RS
Ano
2023
Nível
Superior
Luciana é professora de matemática e está fazendo uma gincana com seus alunos. Ela disse para os alunos “o número que procuram é o produto entre o mínimo múltiplo comum entre os números 20 e 15 e o máximo divisor comum entre os números 10 e 12”, o número que os alunos devem encontrar é:
  1. A2.
  2. B30.
  3. C60.
  4. D120.
  5. E240.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 120.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 120 (letra D).

A ideia por trás

O mínimo múltiplo comum (MMC) entre dois números é o menor número positivo que é múltiplo de ambos; ele representa o menor ciclo que se repete quando os dois eventos acontecem juntos. O máximo divisor comum (MDC) é o maior número que divide ambos exatamente; ele representa o maior pedaço comum que cabe nos dois. Para calcular, usamos a decomposição em fatores primos: no MMC entram todos os fatores (comuns e não comuns) com os maiores expoentes; no MDC entram apenas os fatores comuns com os menores expoentes. Nesta questão, precisamos calcular cada um separadamente e depois multiplicar os resultados.

O que a questão dá

  • números para MMC: 20 e 15

  • números para MDC: 10 e 12

O que queremos: o produto entre o MMC(20, 15) e o MDC(10, 12)

Passo 1 — Fatorar os números 20 e 15

Para calcular o MMC, precisamos primeiro decompor cada número em fatores primos. Isso mostra quais primos compõem cada número e com quais expoentes.

Por que esta fórmula: A fatoração é a base para o MMC e o MDC: escrevemos cada número como produto de primos.

20=22⋅5e15=3⋅520 = 2^{2} \cdot 5 \quad \text{e} \quad 15 = 3 \cdot 5

De onde vem cada valor: 2020 = enunciado: números para MMC · 1515 = enunciado: números para MMC

20=22⋅5,15=3⋅520 = 2^{2} \cdot 5, \quad 15 = 3 \cdot 5

20 = 2²·5, 15 = 3·5

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que 20 = 4·5 e 4 = 2², escrevendo 20 = 2·2·5 sem os expoentes.

Passo 2 — Calcular o MMC de 20 e 15

Com as fatorações prontas, o MMC é o produto de todos os fatores primos, comuns e não comuns, usando os maiores expoentes. Isso garante que o resultado seja múltiplo de ambos.

Por que esta fórmula: O MMC deve conter cada primo presente em qualquer um dos números, na maior potência que aparece.

MMC(20,15)=22⋅3⋅5MMC(20, 15) = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5

De onde vem cada valor: 222^{2} = passo 1: fatoração de 20 · 33 = passo 1: fatoração de 15 · 55 = passo 1: comum aos dois

MMC=22⋅3⋅5=4⋅3⋅5=60MMC = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = \boxed{60}
NÃO CAIA NESSA!

Usar apenas os fatores comuns (5) ou os menores expoentes, o que daria 5 ou 10.

Passo 3 — Fatorar os números 10 e 12

Para calcular o MDC, precisamos das fatorações de 10 e 12. O MDC usa apenas os fatores comuns, com os menores expoentes.

Por que esta fórmula: A fatoração é necessária para identificar os primos comuns.

10=2⋅5e12=22⋅310 = 2 \cdot 5 \quad \text{e} \quad 12 = 2^{2} \cdot 3

De onde vem cada valor: 1010 = enunciado: números para MDC · 1212 = enunciado: números para MDC

10=2⋅5,12=22⋅310 = 2 \cdot 5, \quad 12 = 2^{2} \cdot 3

10 = 2·5, 12 = 2²·3

NÃO CAIA NESSA!

Confundir e usar todos os fatores, como no MMC.

Passo 4 — Calcular o MDC de 10 e 12

O MDC é o produto dos fatores primos comuns, com os menores expoentes. Aqui, o único primo comum é o 2, com expoente 1.

Por que esta fórmula: O MDC deve ser o maior número que divide ambos, então só os fatores que aparecem nos dois entram, com a menor potência.

MDC(10,12)=21=2MDC(10, 12) = 2^{1} = 2

De onde vem cada valor: 212^{1} = passo 3: fator comum com menor expoente

MDC=2=2MDC = 2 = \boxed{2}
NÃO CAIA NESSA!

Incluir o 5 ou o 3, que não são comuns, ou usar o expoente 2 do 12.

Passo 5 — Multiplicar MMC e MDC

A questão pede o produto entre o MMC e o MDC. Com os dois valores calculados, basta multiplicá-los.

Por que esta fórmula: O produto é a operação final pedida no enunciado.

produto=MMC×MDC\text{produto} = MMC \times MDC

De onde vem cada valor: MMCMMC = passo 2: 60 · MDCMDC = passo 4: 2

produto=60×2=120\text{produto} = 60 \times 2 = \boxed{120}
NÃO CAIA NESSA!

Parar no MMC (60) ou no MDC (2) sem multiplicar.

Resposta: 120 (letra D)

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