Questão de Matemática — Funções — FUNDATEC 2023

Função Quadrática: Concavidade e Vértice

Gabarito: letra A. A alternativa correta é a que descreve a função k(x) = x² + 4x + 2 como uma parábola com concavidade voltada para cima e ponto de mínimo em (-2, -2). Isso porque o coeficiente "a" é positivo (a = 1), indicando concavidade para cima, e o vértice, calculado pelas fórmulas $x_v = -b/2a$ e $y_v = -\Delta/4a$, resulta exatamente no ponto (-2, -2).

A questão cobra dois conceitos centrais da função quadrática (f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0): a concavidade da parábola e as coordenadas do vértice. A concavidade é determinada exclusivamente pelo sinal do coeficiente "a": se a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e o vértice é um ponto de mínimo; se a < 0, a concavidade é voltada para baixo e o vértice é um ponto de máximo. O vértice, por sua vez, é o ponto onde a função atinge seu valor extremo, e suas coordenadas são dadas por:

• $x_v = -\frac{b}{2a}$

• $y_v = -\frac{\Delta}{4a}$, onde $\Delta = b^2 - 4ac$

A banca explora a confusão entre máximo e mínimo, e entre o sinal do coeficiente "a" e a concavidade. É comum o candidato inverter: achar que a > 0 dá concavidade para baixo, ou que o vértice de uma função com a > 0 é um ponto de máximo. A pegadinha aqui é justamente essa inversão, presente nas alternativas C e D.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Para k(x) = x² + 4x + 2, temos a = 1, b = 4 e c = 2. Como a = 1 > 0, a concavidade é para cima. Calculando o vértice:

• $x_v = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$

• $\Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8$

• $y_v = -\frac{8}{4 \cdot 1} = -2$

Portanto, o vértice é (-2, -2), e como a > 0, é um ponto de mínimo. A alternativa está correta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A função f(x) = x + 3 é uma função do 1º grau (função afim), cujo gráfico é uma reta, não uma parábola. A banca tenta confundir o candidato ao afirmar que é uma parábola com concavidade para cima. O conceito de concavidade e o coeficiente "a" (que aqui seria o coeficiente angular da reta) só se aplicam à função quadrática.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Para h(x) = x² + 6x + 2, temos a = 1 > 0, o que indica concavidade para cima. O vértice seria um ponto de mínimo, não de máximo. Além disso, calculando o vértice:

• $x_v = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$

• $\Delta = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 36 - 8 = 28$

• $y_v = -\frac{28}{4 \cdot 1} = -7$

O vértice correto é (-3, -7), não (-3, 7). A alternativa erra tanto no tipo de extremo (máximo em vez de mínimo) quanto no valor de y do vértice.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Para g(x) = -x² + 2x + 3, temos a = -1 < 0, o que indica concavidade para baixo. O vértice seria um ponto de máximo, o que está correto na alternativa. Porém, calculando o vértice:

• $x_v = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$

• $\Delta = 2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 3 = 4 + 12 = 16$

• $y_v = -\frac{16}{4 \cdot (-1)} = 4$

O vértice correto é (1, 4), não (-1, 3). A alternativa erra nas coordenadas do vértice.

Gabarito: letra A