Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FUNDATEC 2023
Matemática›Aritmética e Problemas
Código
qq908281
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Harmonia - RS
Ano
2023
Nível
Superior
Considerando os conjuntos numéricos, analise as seguintes afirmações:I. O conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros.II. O conjunto dos números irracionais contém o conjunto dos números naturais.III. O conjunto dos números racionais contém o conjunto dos números inteiros.IV. O conjunto dos números reais não contém o conjunto dos números irracionais.Quais estão corretas?
AApenas I e II.
BApenas I e III.
CApenas II e IV.
DApenas I, III e IV.
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GabaritoB — Apenas I e III.
Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.
Conjuntos numéricos: relações de inclusão
Gabarito: letra B — estão corretas apenas as afirmações I e III. A relação de inclusão entre os conjuntos numéricos segue a cadeia ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ, e os irracionais (𝕀) são disjuntos dos racionais (ℚ), de modo que os naturais não estão contidos nos irracionais (II é falsa) e os reais contêm os irracionais (IV é falsa).
A questão cobra a hierarquia clássica dos conjuntos numéricos. Vamos relembrar cada conjunto e sua relação de inclusão:
Naturais (ℕ): números de contagem, incluindo o zero (ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}).
Inteiros (ℤ): todos os naturais, seus opostos e o zero (ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}). Portanto, ℕ ⊂ ℤ.
Racionais (ℚ): todos os números que podem ser escritos como fração p/q, com p e q inteiros e q ≠ 0. Incluem os inteiros, os decimais exatos e as dízimas periódicas. Portanto, ℤ ⊂ ℚ.
Irracionais (𝕀): números que não podem ser escritos como fração, como √2, π e e. Têm representação decimal infinita e não periódica. São disjuntos dos racionais: ℚ ∩ 𝕀 = ∅.
Reais (ℝ): a união dos racionais com os irracionais: ℝ = ℚ ∪ 𝕀. Portanto, ℚ ⊂ ℝ e 𝕀 ⊂ ℝ.
A pegadinha da banca está em inverter o sentido da inclusão: dizer que um conjunto maior (irracionais) contém um menor (naturais) quando, na verdade, eles são disjuntos. Vamos analisar cada afirmação.
Relações entre conjuntos numéricos — só Racionais: ℤ ⊂ ℚ; só Irracionais: 𝕀 ⊂ ℝ; Racionais∩Irracionais: ∅
Item I — ✅ Correto
O conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros. Isso é verdadeiro, pois todo número natural é também um número inteiro: ℕ = {0, 1, 2, 3, ...} está inteiramente dentro de ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. A inclusão é própria, pois os inteiros incluem também os negativos, que não são naturais.
Item II — ❌ Incorreto
O conjunto dos números irracionais contém o conjunto dos números naturais. Isso é falso. Os números irracionais são aqueles que não podem ser expressos como fração de inteiros, como √2, π e e. Os números naturais (0, 1, 2, 3, ...) são todos racionais, pois podem ser escritos como fração (ex.: 2 = 2/1). Portanto, ℕ ⊂ ℚ e ℕ ∩ 𝕀 = ∅. A banca inverteu a relação: os naturais estão contidos nos racionais, não nos irracionais.
Item III — ✅ Correto
O conjunto dos números racionais contém o conjunto dos números inteiros. Isso é verdadeiro, pois todo número inteiro pode ser escrito como uma fração com denominador 1 (ex.: -3 = -3/1, 0 = 0/1, 5 = 5/1). Portanto, ℤ ⊂ ℚ. Essa é a cadeia clássica: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
Item IV — ❌ Incorreto
O conjunto dos números reais não contém o conjunto dos números irracionais. Isso é falso. O conjunto dos números reais é, por definição, a união dos racionais com os irracionais: ℝ = ℚ ∪ 𝕀. Portanto, os irracionais estão contidos nos reais (𝕀 ⊂ ℝ). A afirmação inverte a relação de inclusão.
Conclusão: Corretos: I e III → portanto a alternativa é a letra B.
NÃO CAIA NESSA!
A banca adora inverter o sentido da inclusão entre conjuntos. Aqui, ela trocou a relação correta (ℕ ⊂ ℚ) por uma falsa (ℕ ⊂ 𝕀) e negou uma inclusão verdadeira (𝕀 ⊂ ℝ). Fique atento: os irracionais são disjuntos dos racionais, mas estão contidos nos reais. Com treino, você enxerga essas inversões de longe 💪
PEGA ESSA DICA!
Para resolver questões de inclusão entre conjuntos numéricos, memorize a cadeia ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ e lembre que 𝕀 = ℝ − ℚ. Desenhe o diagrama de Venn mentalmente: os racionais e os irracionais são dois círculos separados, ambos dentro do retângulo dos reais. Isso resolve a maioria das questões do tema.