Questão de Matemática — Progressões — FUNDATEC 2023

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 21 (alternativa C).

A ideia por trás

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência de números em que a diferença entre um termo e o anterior é sempre a mesma. Essa diferença constante é chamada de razão (r). Por exemplo, na sequência 2, 5, 8, 11, a razão é 3, pois cada termo é o anterior mais 3. A razão pode ser positiva (sequência crescente), negativa (decrescente) ou zero (constante).

Para encontrar um termo qualquer de uma PA, usamos a fórmula do termo geral: a_n = a_1 + (n-1) * r, onde a_1 é o primeiro termo, n é a posição do termo desejado e r é a razão. Se a razão aumenta, os termos crescem mais rápido; se diminui, crescem mais devagar. A razão é calculada subtraindo um termo do seu antecessor: r = a_n - a_{n-1}.

Nesta questão, precisamos identificar se a sequência é uma PA e, se for, descobrir a razão para então calcular o próximo termo. Isso exige verificar se as diferenças entre termos consecutivos são iguais.

O que a questão dá

• primeiro termo = 5

• segundo termo = 9

• terceiro termo = 13

• quarto termo = 17

O que queremos: o quinto termo da sequência

Passo 1 — Calcular a diferença entre os dois primeiros termos

Para saber se a sequência é uma progressão aritmética, precisamos verificar se a diferença entre termos consecutivos é constante. Começamos pelos dois primeiros termos para achar essa diferença, que será a razão se o padrão se mantiver.

Por que esta fórmula: A razão de uma PA é definida como a diferença entre um termo e seu antecessor: r = a_n - a_{n-1}. Usamos os dois primeiros termos porque são os primeiros disponíveis.

De onde vem cada valor: $a_2$ = enunciado: segundo termo = 9 · $a_1$ = enunciado: primeiro termo = 5

Passo 2 — Confirmar a razão com os próximos termos

Uma única diferença não garante que a sequência seja uma PA. Precisamos conferir se a mesma diferença aparece entre os outros termos consecutivos, para ter certeza de que o padrão é constante.

Por que esta fórmula: A mesma definição de razão se aplica a qualquer par de termos consecutivos: r = a_n - a_{n-1}. Vamos testar com o segundo e terceiro termos.

De onde vem cada valor: $a_3$ = enunciado: terceiro termo = 13 · $a_2$ = enunciado: segundo termo = 9

Passo 3 — Confirmar a razão com o terceiro e quarto termos

Já confirmamos a razão entre os dois primeiros pares. Agora verificamos o último par disponível para garantir que a razão é realmente constante em toda a sequência.

Por que esta fórmula: Novamente usamos a definição de razão: r = a_n - a_{n-1}, agora com o terceiro e quarto termos.

De onde vem cada valor: $a_4$ = enunciado: quarto termo = 17 · $a_3$ = enunciado: terceiro termo = 13

Passo 4 — Somar a razão ao último termo

Como a razão é constante e igual a 4, o próximo termo é obtido somando 4 ao último termo conhecido. Isso é a própria definição de PA: cada termo é o anterior mais a razão.

Por que esta fórmula: Em uma PA, o termo seguinte é sempre a_n + r. Como queremos o quinto termo, usamos o quarto termo (17) e somamos a razão (4).

De onde vem cada valor: $a_4$ = enunciado: quarto termo = 17 · $r$ = passo 1, 2 e 3: 4

Resposta: 21 (alternativa C)