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Questão de Matemática — MMC e MDC — FUNDATEC 2023

MatemáticaMMC e MDC
Código
qq908779
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Limeira - SP
Ano
2023
Nível
Médio
O valor do mínimo múltiplo comum entre os números 15 e 35, somado ao valor do máximo divisor comum entre os números 15 e 25, resulta no número:
  1. A5.
  2. B100.
  3. C105.
  4. D110.
  5. E135.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 110.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 110 (letra D).

A ideia por trás

O mínimo múltiplo comum (MMC) entre dois números é o menor múltiplo positivo que ambos compartilham; ele indica quando dois ciclos se encontram de novo, como folgas que coincidem. O máximo divisor comum (MDC) é o maior número que divide ambos exatamente; ele serve para repartir coisas em partes iguais sem sobrar nada. Para calcular, decompomos cada número em fatores primos: no MMC pegamos todos os fatores (comuns e não comuns) com os maiores expoentes; no MDC pegamos apenas os fatores comuns com os menores expoentes. Nesta questão, precisamos calcular os dois separadamente e depois somar os resultados.

O que a questão dá

  • números 15 e 35 para o MMC

  • números 15 e 25 para o MDC

O que queremos: a soma do MMC(15,35) com o MDC(15,25)

Passo 1 — Decompor 15 e 35 em fatores primos

Para achar o MMC precisamos dos fatores primos de cada número. Decompor é dividir o número pelos primos em ordem até chegar a 1; isso revela a 'receita' de cada número.

Por que esta fórmula: A decomposição em fatores primos é o método padrão para calcular MMC e MDC, pois permite comparar os fatores de cada número.

15=3×535=5×715 = 3 \times 5 \\ 35 = 5 \times 7

De onde vem cada valor: 1515 = enunciado: número 15 · 3535 = enunciado: número 35

15=3×535=5×715 = 3 \times 5 \\ 35 = 5 \times 7

15 = 3 × 5; 35 = 5 × 7

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que 35 = 5 × 7, achando que é 5 × 5 ou 7 × 5.

Passo 2 — Calcular o MMC de 15 e 35

Com os fatores primos em mãos, o MMC é o produto de todos os fatores (comuns e não comuns) com os maiores expoentes. Aqui, os fatores são 3, 5 e 7, todos com expoente 1.

Por que esta fórmula: O MMC deve conter cada fator primo que aparece em qualquer um dos números, na maior potência em que aparece, para ser múltiplo de ambos.

MMC=3×5×7MMC = 3 \times 5 \times 7

De onde vem cada valor: 33 = passo 1: fator de 15 · 55 = passo 1: fator comum a 15 e 35 · 77 = passo 1: fator de 35

MMC=3×5×7=105MMC = 3 \times 5 \times 7 = \boxed{105}
NÃO CAIA NESSA!

Usar apenas os fatores comuns (5) e esquecer os não comuns (3 e 7), resultando em 5.

Passo 3 — Decompor 15 e 25 em fatores primos

Para o MDC precisamos dos fatores primos de 15 e 25. Já temos o 15 do passo 1, mas o 25 ainda não foi decomposto.

Por que esta fórmula: A decomposição em fatores primos é necessária para identificar os fatores comuns.

15=3×525=5215 = 3 \times 5 \\ 25 = 5^{2}

De onde vem cada valor: 1515 = passo 1: 15 = 3 × 5 · 2525 = enunciado: número 25

15=3×525=5215 = 3 \times 5 \\ 25 = 5^{2}

15 = 3 × 5; 25 = 5²

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que 25 = 5², escrevendo 25 = 5 × 5 sem o expoente.

Passo 4 — Calcular o MDC de 15 e 25

O MDC é o produto dos fatores comuns com os menores expoentes. Entre 15 e 25, o único fator comum é o 5, e o menor expoente é 1 (em 15).

Por que esta fórmula: O MDC deve ser o maior número que divide ambos, então só pode conter fatores que aparecem nos dois, na menor potência.

MDC=51=5MDC = 5^{1} = 5

De onde vem cada valor: 55 = passo 3: fator comum a 15 e 25

MDC=5=5MDC = 5 = \boxed{5}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o maior expoente (5²) em vez do menor, resultando em 25.

Passo 5 — Somar MMC e MDC

O enunciado pede a soma dos dois resultados. Temos o MMC (105) e o MDC (5); agora é só somar.

Por que esta fórmula: A operação final é uma adição simples dos valores obtidos.

105+5105 + 5

De onde vem cada valor: 105105 = passo 2: MMC(15,35) · 55 = passo 4: MDC(15,25)

105+5=110105 + 5 = \boxed{110}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar e marcar 105 (só o MMC) ou 5 (só o MDC).

Resposta: 110 (letra D)

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