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Questão de Matemática — MMC e MDC — FUNDATEC 2023

MatemáticaMMC e MDC
Código
qq908964
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Nova Santa Rita - RS
Ano
2023
Nível
Fundamental
O produto entre o Máximo Divisor Comum entre 33 e 77 e o Mínimo Múltiplo Comum entre os números 5, 12 e 30 é:
  1. A132.
  2. B660.
  3. C671.
  4. D760.
  5. E990.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 660.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 660 (alternativa B).

A ideia por trás

O Máximo Divisor Comum (MDC) entre dois ou mais números é o maior número que divide todos eles ao mesmo tempo. Já o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) é o menor número positivo que é múltiplo de todos eles. Para calcular o MDC, fatoramos os números e pegamos apenas os fatores primos comuns com os menores expoentes; para o MMC, pegamos todos os fatores primos (comuns e não comuns) com os maiores expoentes. Nesta questão, precisamos calcular cada um separadamente e depois multiplicar os resultados.

O que a questão dá

  • números para MDC: 33 e 77

  • números para MMC: 5, 12 e 30

O que queremos: o produto entre o MDC(33, 77) e o MMC(5, 12, 30)

Passo 1 — Fatorar 33 e 77 em primos

Para achar o MDC, precisamos ver quais fatores primos os números têm em comum. Fatorar é decompor cada número em uma multiplicação de primos.

Por que esta fórmula: A fatoração em primos é o primeiro passo para encontrar o MDC, pois o MDC é formado pelos fatores comuns.

33=3×1177=7×1133 = 3 \times 11 \\ 77 = 7 \times 11

De onde vem cada valor: 3333 = enunciado: 33 · 7777 = enunciado: 77

33=3×1177=7×1133 = 3 \times 11 \\ 77 = 7 \times 11

33 = 3 × 11; 77 = 7 × 11

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de fatorar completamente, como 33 = 3 × 11 e 77 = 7 × 11, mas errar na fatoração de 77 (por exemplo, 77 = 7 × 11, não 7 × 11? cuidado).

Passo 2 — Identificar os fatores comuns

O MDC é o produto dos fatores primos comuns com os menores expoentes. Comparando as fatorações, vemos que o único fator comum é o 11.

Por que esta fórmula: O MDC é definido como o maior número que divide ambos; isso corresponde ao produto dos fatores comuns.

MDC(33,77)=11MDC(33, 77) = 11

De onde vem cada valor: 1111 = passo 1: fator comum entre 33 e 77

MDC(33,77)=11=11MDC(33, 77) = 11 = \boxed{11}
NÃO CAIA NESSA!

Incluir fatores não comuns, como 3 ou 7, no MDC.

Passo 3 — Fatorar 5, 12 e 30 em primos

Para calcular o MMC, precisamos das fatorações completas de cada número.

Por que esta fórmula: A fatoração é necessária para identificar todos os fatores primos e seus maiores expoentes.

5=512=22×330=2×3×55 = 5 \\ 12 = 2^{2} \times 3 \\ 30 = 2 \times 3 \times 5

De onde vem cada valor: 55 = enunciado: 5 · 1212 = enunciado: 12 · 3030 = enunciado: 30

5=512=22×330=2×3×55 = 5 \\ 12 = 2^{2} \times 3 \\ 30 = 2 \times 3 \times 5

5 = 5; 12 = 2² × 3; 30 = 2 × 3 × 5

NÃO CAIA NESSA!

Errar a fatoração de 12, por exemplo, 12 = 2 × 6, mas 6 não é primo.

Passo 4 — Calcular o MMC com maiores expoentes

O MMC é o produto de todos os fatores primos, comuns ou não, usando o maior expoente de cada um. Isso garante que o MMC seja múltiplo de todos os números.

Por que esta fórmula: A regra do MMC é pegar todos os fatores primos com os maiores expoentes.

MMC(5,12,30)=22×3×5MMC(5, 12, 30) = 2^{2} \times 3 \times 5

De onde vem cada valor: 222^{2} = passo 3: do 12, maior expoente de 2 · 33 = passo 3: do 12 ou 30 · 55 = passo 3: do 5 ou 30

MMC=22×3×5=4×3×5=60MMC = 2^{2} \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = \boxed{60}
NÃO CAIA NESSA!

Usar apenas os fatores comuns (como no MDC) ou esquecer o fator 2², resultando em 30 ou 90.

Passo 5 — Multiplicar MDC e MMC

A questão pede o produto entre os dois resultados. Agora que temos MDC = 11 e MMC = 60, basta multiplicar.

Por que esta fórmula: O produto é direto: MDC × MMC.

11×6011 \times 60

De onde vem cada valor: 1111 = passo 2: MDC(33, 77) · 6060 = passo 4: MMC(5, 12, 30)

11×60=660=66011 \times 60 = 660 = \boxed{660}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a multiplicação, como 11 × 60 = 660, mas confundir com 11 × 6 = 66.

Resposta: 660 (alternativa B)

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