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Questão de Matemática — Regra de Três — FUNDATEC 2023

MatemáticaRegra de Três
Código
qq909975
Banca
FUNDATEC
Órgão
SIMAE - SC
Ano
2023
Nível
Médio
Um empreiteiro foi contratado para a construção de um muro em torno de um terreno no qual será instalada uma indústria. Ele, então, designou para a obra 8 (oito) de seus melhores operários, os quais tem uma jornada de trabalho de 8 horas diárias, e estimou que em 20 dias a obra estaria concluída. Entretanto, após 12 dias de trabalho, o empreiteiro verificou que apenas 4/7 da obra havia sido concluída. Para cumprir o prazo, quantas horas extras diárias deverão ser feitas pelo mesmo grupo de operários?
  1. A9 h.
  2. B7 h.
  3. C5 h.
  4. D3 h.
  5. E1 h.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 1 h.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 1 hora extra por dia (alternativa E).

A ideia por trás

A regra de três composta relaciona grandezas que variam juntas: quando uma aumenta, a outra pode aumentar ou diminuir, conforme a relação de proporcionalidade. Neste problema, a quantidade de obra (fração) é diretamente proporcional à jornada diária: mais obra exige mais horas por dia. Já o número de dias é inversamente proporcional à jornada: menos dias disponíveis exigem mais horas por dia. A regra de três composta permite encontrar o valor de uma grandeza (a jornada) conhecendo as outras, mantendo fixas as demais condições (número de operários e produtividade). Aqui, comparamos a situação conhecida (12 dias, 4/7 da obra, 8 h/dia) com a futura (8 dias, 3/7 da obra, x h/dia) para descobrir a nova jornada total, e depois subtraímos as 8 horas normais para achar as horas extras.

O que a questão dá

  • 8 operários

  • jornada normal = 8 h/dia

  • prazo inicial = 20 dias

  • após 12 dias, obra concluída = 4/7

  • restam 8 dias (20 - 12)

O que queremos: quantas horas extras por dia são necessárias para terminar a obra no prazo

Passo 1 — Calcular a fração restante da obra

Precisamos saber quanto falta construir para comparar com o que já foi feito. A obra total é 1 (ou 7/7); se 4/7 já foram concluídos, o restante é a diferença.

Por que esta fórmula: A fração restante é o total menos o que já foi feito: 1 - 4/7. Como 1 = 7/7, subtraímos os numeradores.

restante=1−47\text{restante} = 1 - \frac{4}{7}

De onde vem cada valor: 11 = enunciado: obra total (100%) · 47\frac{4}{7} = enunciado: fração concluída após 12 dias

restante=77−47=37=3 /7daobra\text{restante} = \frac{7}{7} - \frac{4}{7} = \frac{3}{7} = \boxed{3\ /7 \text{da} \text{obra}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair e usar 4/7 como se fosse o restante.

Passo 2 — Calcular os dias restantes

O prazo total é 20 dias e já se passaram 12. Para saber quantos dias temos para terminar, subtraímos.

Por que esta fórmula: Dias restantes = prazo total - dias trabalhados.

d=20−12d = 20 - 12

De onde vem cada valor: 2020 = enunciado: prazo inicial em dias · 1212 = enunciado: dias trabalhados

d=20−12=8=8 diasd = 20 - 12 = 8 = \boxed{8\ \text{dias}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 12 dias como se fossem os restantes.

Passo 3 — Montar a regra de três composta

Com as frações e os dias conhecidos, relacionamos a jornada diária (x) com a obra e os dias. A fração da obra é diretamente proporcional à jornada (mais obra exige mais horas), e os dias são inversamente proporcionais (menos dias exige mais horas). Por isso, montamos a proporção com a razão das frações multiplicada pela razão inversa dos dias.

Por que esta fórmula: A jornada atual (8 h) está para a nova jornada (x) assim como a razão entre as frações (4/7 sobre 3/7) vezes a razão inversa dos dias (8 sobre 12, pois menos dias exigem mais horas).

8x=4/73/7×812\frac{8}{x} = \frac{4/7}{3/7} \times \frac{8}{12}

De onde vem cada valor: 88 = enunciado: jornada normal em horas por dia · xx = incógnita: nova jornada diária · 4/73/7\frac{4/7}{3/7} = passo 1 e enunciado: fração concluída sobre fração restante · 812\frac{8}{12} = passo 2 e enunciado: dias restantes sobre dias trabalhados

8x=43×23\frac{8}{x} = \frac{4}{3} \times \frac{2}{3}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a razão dos dias (usar 12/8) ou das frações (3/4), o que leva a valores errados.

Passo 4 — Simplificar a razão das frações

Para facilitar a conta, dividimos as frações: (4/7) ÷ (3/7) = 4/3, pois os denominadores se cancelam.

Por que esta fórmula: Dividir frações é multiplicar pela inversa da segunda: (4/7) × (7/3) = 4/3.

4/73/7=43\frac{4/7}{3/7} = \frac{4}{3}

De onde vem cada valor: 4/73/7\frac{4/7}{3/7} = passo 3

47×73=43=4 /3\frac{4}{7} \times \frac{7}{3} = \frac{4}{3} = \boxed{4\ /3}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de inverter a segunda fração e subtrair os numeradores.

Passo 5 — Simplificar a razão dos dias

A razão 8/12 pode ser simplificada dividindo numerador e denominador por 4.

Por que esta fórmula: Simplificar frações mantém o valor, mas facilita a multiplicação.

812=23\frac{8}{12} = \frac{2}{3}

De onde vem cada valor: 88 = passo 2 · 1212 = enunciado: dias trabalhados

8÷412÷4=23=2 /3\frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3} = \boxed{2\ /3}
NÃO CAIA NESSA!

Não simplificar e multiplicar 8/12 por 4/3, o que dá o mesmo resultado, mas com números maiores.

Passo 6 — Multiplicar as razões

Agora multiplicamos as duas razões simplificadas para obter o lado direito da proporção.

Por que esta fórmula: Multiplicação de frações: numerador × numerador, denominador × denominador.

43×23=89\frac{4}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{9}

De onde vem cada valor: 43\frac{4}{3} = passo 4 · 23\frac{2}{3} = passo 5

4×23×3=89=8 /9\frac{4 \times 2}{3 \times 3} = \frac{8}{9} = \boxed{8\ /9}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a multiplicação, como obter 8/6 ou 6/9.

Passo 7 — Resolver a proporção para x

Com a proporção 8/x = 8/9, isolamos x para descobrir a nova jornada diária total.

Por que esta fórmula: Em uma proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos: 8 × 9 = 8 × x. Depois, dividimos por 8.

x=8×98x = \frac{8 \times 9}{8}

De onde vem cada valor: 88 = passo 6: denominador da razão · 99 = passo 6: numerador da razão

x=728=9=9 horaspordiax = \frac{72}{8} = 9 = \boxed{9\ \text{horas} \text{por} \text{dia}}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a proporção e obter x = 8/9, o que daria menos de 1 hora.

Passo 8 — Calcular as horas extras

A nova jornada total é 9 horas, mas a jornada normal é 8. A diferença é o que se pede: as horas extras diárias.

Por que esta fórmula: Horas extras = nova jornada - jornada normal.

hextra=9−8h_{extra} = 9 - 8

De onde vem cada valor: 99 = passo 7 · 88 = enunciado: jornada normal

hextra=9−8=1h_{extra} = 9 - 8 = 1

hextrah_{extra} = 1 hora extra por dia

NÃO CAIA NESSA!

Marcar 9 h (a jornada total) em vez de subtrair as 8 horas normais.

Resposta: 1 hora extra por dia (alternativa E)

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