Questão de Matemática — Equações Polinomiais — FUNDATEC 2023

Equações Polinomiais: Raiz Única em (ax + b)² = c

Gabarito: letra D. A equação $(ax + b)^2 = c$ tem apenas uma raiz real quando $c = 0$. Isso porque, com $c = 0$, a equação se reduz a $(ax + b)^2 = 0$, que possui solução única $x = -b/a$ (desde que $a \neq 0$). A condição $c = 0$ é a que garante a raiz dupla, conforme a análise do discriminante da equação quadrática.

Para entender completamente, vamos expandir a equação original: $(ax + b)^2 = c \Rightarrow a^2x^2 + 2abx + b^2 - c = 0$. Esta é uma equação do segundo grau em $x$, com coeficientes $A = a^2$, $B = 2ab$ e $C = b^2 - c$. O número de raízes reais é determinado pelo discriminante $\Delta = B^2 - 4AC$. Calculando:

$\Delta = (2ab)^2 - 4(a^2)(b^2 - c) = 4a^2b^2 - 4a^2b^2 + 4a^2c = 4a^2c$.

Para que a equação tenha apenas uma raiz real (raiz dupla), precisamos que $\Delta = 0$. Isso ocorre quando $4a^2c = 0$. Como $a$, $b$ e $c$ são números reais, e a equação é do segundo grau (implicitamente, $a \neq 0$ para ser uma equação quadrática), a condição $4a^2c = 0$ implica que $c = 0$. Portanto, a alternativa correta é a letra D.

A pegadinha aqui é que muitos candidatos podem tentar aplicar diretamente a fórmula de Bhaskara na forma original, mas a chave é reconhecer que a equação é quadrática e usar o discriminante. A condição $c = 0$ é a que garante a raiz dupla, e não as outras opções.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Se $a = 0$ e $b = 0$, a equação se torna $0^2 = c$, ou seja, $0 = c$. Isso só é verdade se $c = 0$, mas a alternativa não especifica o valor de $c$. Se $c \neq 0$, a equação não tem solução (nenhuma raiz real). Se $c = 0$, a equação é uma identidade ($0 = 0$), com infinitas raízes. Portanto, não garante uma única raiz real.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Se $b = 0$, a equação se torna $(ax)^2 = c$, ou seja, $a^2x^2 = c$. Isso é uma equação do tipo $x^2 = c/a^2$. Se $c > 0$, temos duas raízes reais ($x = \pm \sqrt{c}/a$). Se $c < 0$, não há raízes reais. Se $c = 0$, temos uma raiz dupla ($x = 0$). Portanto, $b = 0$ sozinho não garante uma única raiz real; depende do valor de $c$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A condição $b^2 - 4ac = 0$ é o discriminante da equação quadrática padrão $ax^2 + bx + c = 0$. No entanto, na equação $(ax + b)^2 = c$, os coeficientes são diferentes. O discriminante correto é $\Delta = 4a^2c$, não $b^2 - 4ac$. Portanto, essa condição não se aplica diretamente a esta equação.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Se $c = 0$, a equação se torna $(ax + b)^2 = 0$. A única solução é $ax + b = 0$, ou seja, $x = -b/a$ (com $a \neq 0$). Esta é uma raiz dupla, portanto a equação tem apenas uma raiz real. Isso está de acordo com a análise do discriminante: $\Delta = 4a^2c = 0$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Se $a = 0$ e $c = 0$, a equação se torna $b^2 = 0$, o que implica $b = 0$. Nesse caso, a equação é $0 = 0$, uma identidade com infinitas raízes. Portanto, não tem apenas uma raiz real.

Gabarito: letra D