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Questão de Matemática — Funções — FUNDATEC 2023

MatemáticaFunções
Código
qq910032
Banca
FUNDATEC
Órgão
Água de Ivoti - RS
Ano
2023
Nível
Superior
No gráfico da função real f(x) = 3x²+ 2x – 1, o ponto ____ corresponde ao vértice da parábola correspondente a f(x).Assinale a alternativa que preenche corretamente a lacuna do trecho acima.
  1. AAlternativa A
  2. BAlternativa B
  3. CAlternativa C
  4. DAlternativa D
  5. EAlternativa E
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — Alternativa A

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Vértice da parábola

Gabarito: letra A. O vértice da parábola de f(x)=3x2+2x−1f(x) = 3x^2 + 2x - 1 é o ponto (−13,−43)\left(-\frac{1}{3}, -\frac{4}{3}\right), obtido pelas fórmulas xv=−b2ax_v = -\frac{b}{2a} e yv=−Δ4ay_v = -\frac{\Delta}{4a} (ou yv=f(xv)y_v = f(x_v)). Como a=3>0a = 3 > 0, o vértice é o ponto de mínimo da função.

A função quadrática f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c tem como gráfico uma parábola, cujo vértice é o ponto onde a curva muda de direção — é o ponto de máximo (se a<0a < 0) ou de mínimo (se a>0a > 0). As coordenadas do vértice são dadas por:

xv=−b2aeyv=−Δ4a=f(xv)x_v = -\frac{b}{2a} \quad \text{e} \quad y_v = -\frac{\Delta}{4a} = f(x_v)

em que Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac.

Aplicando à função f(x)=3x2+2x−1f(x) = 3x^2 + 2x - 1, temos a=3a = 3, b=2b = 2, c=−1c = -1:

xv=−22⋅3=−26=−13x_v = -\frac{2}{2 \cdot 3} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}
Δ=22−4⋅3⋅(−1)=4+12=16\Delta = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16
yv=−164⋅3=−1612=−43y_v = -\frac{16}{4 \cdot 3} = -\frac{16}{12} = -\frac{4}{3}

Portanto, o vértice é (−13,−43)\left(-\frac{1}{3}, -\frac{4}{3}\right).

PEGA ESSA DICA!

Para conferir, basta substituir xvx_v na função: f(−13)=3(−13)2+2(−13)−1=13−23−1=−43f\left(-\frac{1}{3}\right) = 3\left(-\frac{1}{3}\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{3}\right) - 1 = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} - 1 = -\frac{4}{3}. Se o resultado bater com yvy_v, o cálculo está certo.

  1. 1Identificar a, b, c
  2. 2x_v = -b/2a
  3. 3Δ = b² - 4ac
  4. 4y_v = -Δ/4a
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Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa A apresenta o ponto (−13,−43)\left(-\frac{1}{3}, -\frac{4}{3}\right), que é exatamente o vértice calculado pelas fórmulas xv=−b2ax_v = -\frac{b}{2a} e yv=−Δ4ay_v = -\frac{\Delta}{4a}. Como a=3>0a = 3 > 0, esse ponto é o mínimo da função.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Se a alternativa B trouxer (13,−43)\left(\frac{1}{3}, -\frac{4}{3}\right), o erro está no sinal da abscissa: xv=−b2a=−13x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{3}, não +13+\frac{1}{3}. Esse é um erro comum de sinal ao aplicar a fórmula.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Se a alternativa C trouxer (−13,43)\left(-\frac{1}{3}, \frac{4}{3}\right), o erro está no sinal da ordenada: yv=−Δ4a=−43y_v = -\frac{\Delta}{4a} = -\frac{4}{3}, não +43+\frac{4}{3}. A confusão ocorre ao esquecer o sinal negativo da fórmula.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Se a alternativa D trouxer (13,43)\left(\frac{1}{3}, \frac{4}{3}\right), ambos os sinais estão trocados. Isso indica que o candidato errou tanto o sinal de xvx_v quanto o de yvy_v.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Se a alternativa E trouxer outro par de coordenadas, como (−23,−43)\left(-\frac{2}{3}, -\frac{4}{3}\right), o erro está no cálculo de xvx_v: xv=−b2a=−26=−13x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}, não −23-\frac{2}{3}. Esse erro ocorre ao simplificar incorretamente a fração.

Gabarito: letra A

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