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Questão de Matemática — Geometria Plana — FUNDATEC 2023

MatemáticaGeometria Plana
Código
qq910056
Banca
FUNDATEC
Órgão
Água de Ivoti - RS
Ano
2023
Nível
Médio
Quais são, respectivamente, as medidas, em metros, dos raios da circunferência cujo perímetro mede 25,12 m e do círculo cuja área vale 452,16 m²? Considere 𝜋 = 3,14.
  1. A2 e 6.
  2. B4 e 12.
  3. C8 e 6.
  4. D2 e 12.
  5. E4 e 8.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 4 e 12.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 4 m e 12 m, respectivamente. Alternativa B..

A ideia por trás

A circunferência é a linha que contorna o círculo; seu comprimento (perímetro) mede o quanto essa linha se estende. O círculo é a região interna, e sua área mede o espaço que ele ocupa. Para o comprimento, usamos C = 2πr; para a área, A = πr². O raio r é a distância do centro até a borda: quanto maior o raio, maior o perímetro e a área, mas a área cresce com o quadrado do raio, então dobrar o raio quadruplica a área. Nesta questão, precisamos isolar r em cada fórmula, usando o π fornecido.

O que a questão dá

  • perímetro da circunferência = 25,12 m

  • área do círculo = 452,16 m²

  • π = 3,14

O que queremos: os raios da circunferência e do círculo, respectivamente

Passo 1 — Calcular o raio da circunferência

O perímetro da circunferência é dado, e a fórmula que relaciona perímetro e raio é C = 2πr. Precisamos isolar r para descobrir seu valor.

Por que esta fórmula: O comprimento de uma circunferência é diretamente proporcional ao raio, com constante 2π. É a fórmula padrão para perímetro de circunferência.

C=2⋅π⋅rC = 2 \cdot \pi \cdot r

De onde vem cada valor: CC = enunciado: 25,12 m · π\pi = enunciado: 3,14

25,12=2⋅3,14⋅r25{,}12 = 2 \cdot 3{,}14 \cdot r
r=4 mr = \boxed{4\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar 2 por π antes de dividir, ou usar π = 3 em vez de 3,14.

Passo 2 — Isolar o raio na equação

Com a equação montada, precisamos deixar o r sozinho para achar seu valor numérico.

Por que esta fórmula: Para isolar r, dividimos ambos os lados por 2π, pois r está multiplicado por 2π.

r=C2⋅πr = \frac{C}{2 \cdot \pi}

De onde vem cada valor: CC = passo 1: 25,12 · π\pi = enunciado: 3,14

r=25,122⋅3,14r = \frac{25{,}12}{2 \cdot 3{,}14}
r=4 mr = \boxed{4\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir apenas por π, esquecendo o fator 2.

Passo 3 — Calcular o raio do círculo

A área do círculo é dada, e a fórmula que relaciona área e raio é A = πr². Precisamos isolar r.

Por que esta fórmula: A área de um círculo é proporcional ao quadrado do raio, com constante π. É a fórmula padrão para área de círculo.

A=π⋅r2A = \pi \cdot r^{2}

De onde vem cada valor: AA = enunciado: 452,16 m² · π\pi = enunciado: 3,14

452,16=3,14⋅r2452{,}16 = 3{,}14 \cdot r^{2}
r2=144r^{2} = \boxed{144}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar ao quadrado ou usar π = 3.

Passo 4 — Isolar o raio na equação da área

Com a equação montada, precisamos deixar r² sozinho e depois extrair a raiz quadrada.

Por que esta fórmula: Para isolar r², dividimos ambos os lados por π; depois, como r está ao quadrado, aplicamos a raiz quadrada.

r=Aπr = \sqrt{\frac{A}{\pi}}

De onde vem cada valor: AA = passo 3: 452,16 · π\pi = enunciado: 3,14

r=452,163,14r = \sqrt{\frac{452{,}16}{3{,}14}}
r=12 mr = \boxed{12\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de tirar a raiz quadrada, ou confundir com a fórmula do perímetro.

Resposta: 4 m e 12 m, respectivamente. Alternativa B.

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