Lógica Proposicional: Dedução a partir de Valores Lógicos
Gabarito: letra C. A partir das duas afirmações dadas, conclui-se que Renato é culpado. A falsidade da conjunção (Renato inocente E Raquel culpada) impede que Renato seja inocente, pois se o fosse, a implicação forçaria Raquel culpada, tornando a conjunção verdadeira — contradição. Portanto, Renato é necessariamente culpado.
Sejam:
P: "Renato é inocente"
Q: "Raquel é culpada"
Dados:
P ∧ Q é falsa.
P → Q é verdadeira.
A implicação P → Q só é falsa quando P é verdadeira e Q é falsa. Como ela é verdadeira, não podemos ter P verdadeiro e Q falso. Assim:
Se P fosse verdadeiro, então Q teria que ser verdadeiro (para a implicação ser verdadeira). Mas isso tornaria P ∧ Q verdadeiro, contradizendo o dado 1. Logo, P é falso.
Se P é falso, a implicação é automaticamente verdadeira (qualquer que seja Q). E a conjunção será falsa independentemente de Q. Portanto, Renato não é inocente, ou seja, Renato é culpado.
P | Q | P ∧ Q (falsa) | P → Q (verdadeira) | Análise |
|---|
V | V | V (contradiz) | V | Inviável: P∧Q deveria ser falsa |
V | F | F | F (contradiz) | Inviável: P→Q deveria ser verdadeira |
F | V | F | V | Possível |
F | F | F | V | Possível |
Caso | Atribuição | Resultado | | |
------ | ------------ | ----------- | | |
1 | P = V, Q = V | Contradição (P∧Q verdadeira) | | |
2 | P = V, Q = F | Contradição (P→Q falsa) | | |
3 | P = F, Q = V | Consistente | | |
4 | P = F, Q = F | Consistente | | |
Alternativa A — ❌ Incorreta
Afirma que Raquel é culpada. Mas Q pode ser falso se P for falso. Exemplo: P falso, Q falso satisfaz ambas as condições. Logo, não é necessariamente verdade.
Alternativa B — ❌ Incorreta
Afirma que Renato e Raquel são inocentes (P verdadeiro e Q falso). Isso tornaria a implicação P→Q falsa, contradizendo o dado 2.
Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Renato é culpado (P falso). Conforme demonstrado, P é necessariamente falso.
Alternativa D — ❌ Incorreta
Afirma que ambos são culpados (P falso, Q verdadeiro). Isso é possível, mas não necessário – Q pode ser falso. Logo, não é uma conclusão necessária.
Alternativa E — ❌ Incorreta
Renato é inocente (P verdadeiro) é impossível, como provado.
Conclusão: A única alternativa que decorre necessariamente das condições é a letra C.