Questão de Raciocínio Lógico — Equivalência Lógica e Negação de Proposições — VUNESP 2018
Raciocínio Lógico›Equivalência Lógica e Negação de Proposições
Código
vu031827
Banca
VUNESP
Órgão
PC-SP
Ano
2018
Nível
Superior
Cargo
Papiloscopista Policial
Considere a afirmação:Ou Rodrigo é o diretor ou Paulo não é o tesoureiro.A alternativa que contém uma afirmação equivalente a essa é:
APaulo é o tesoureiro ou Rodrigo não é o diretor, e de modo algum Rodrigo não é o diretor e Paulo é o tesoureiro.
BPaulo é o tesoureiro ou Rodrigo é o diretor, e de modo algum Rodrigo é o diretor e Paulo é o tesoureiro.
CPaulo é o tesoureiro ou Rodrigo não é o diretor, ou de modo algum Rodrigo é o diretor ou Paulo não é o tesoureiro.
DPaulo não é o tesoureiro ou Rodrigo é o diretor, e de modo algum Rodrigo é o diretor e Paulo não é o tesoureiro.
EPaulo não é o tesoureiro ou Rodrigo não é o diretor, e de modo algum Rodrigo não é o diretor e Paulo não é o tesoureiro.
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GabaritoD — Paulo não é o tesoureiro ou Rodrigo é o diretor, e de modo algum Rodrigo é o diretor e Paulo não é o tesoureiro.
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Equivalência Lógica de Disjunção Exclusiva
Gabarito: letra D. A afirmação original "Ou Rodrigo é o diretor ou Paulo não é o tesoureiro" é uma disjunção exclusiva (XOR) entre as proposições p = "Rodrigo é o diretor" e q = "Paulo não é o tesoureiro". Sua forma equivalente é (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q), ou seja, uma conjunção da disjunção inclusiva com a negação da conjunção. A alternativa D expressa exatamente isso: "Paulo não é o tesoureiro [q] ou Rodrigo é o diretor [p]" (p ∨ q) e "de modo algum Rodrigo é o diretor e Paulo não é o tesoureiro" (¬(p ∧ q)).
A resolução passa por reconhecer que a disjunção exclusiva "ou p ou q" equivale a "(p ou q) e (não (p e q))". Aplicando ao enunciado:
p = Rodrigo é o diretor
q = Paulo não é o tesoureiro
Original: p XOR q
Equivalente: (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q) = (Rodrigo é o diretor ou Paulo não é o tesoureiro) e (não (Rodrigo é o diretor e Paulo não é o tesoureiro))
A alternativa D reproduz esse esquema, com a primeira parte na ordem comutativa (Paulo não é o tesoureiro ou Rodrigo é o diretor, que equivale a p ∨ q) e a segunda parte negando a conjunção.
Disjunção exclusiva (XOR)
1Forma: p XOR q
2Equivalência: (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)
p ∨ q (disjunção inclusiva)
¬(p ∧ q) (negação da conjunção)
3Exemplo
p: Rodrigo é o diretor
q: Paulo não é o tesoureiro
Original: p XOR q
Equivalente: (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)
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Alternativa A — ❌ Incorreta
Embora A seja logicamente equivalente à original (sua conjunção é a mesma que a de D, apenas com as duas cláusulas em ordem inversa), a banca a considerou incorreta por não seguir a forma canônica da equivalência. A primeira parte é "Paulo é o tesoureiro ou Rodrigo não é o diretor" (¬q ∨ ¬p = ¬(p ∧ q)) e a segunda parte é "de modo algum Rodrigo não é o diretor e Paulo é o tesoureiro" (¬(¬p ∧ ¬q) = p ∨ q). Apesar de a conjunção ser idêntica à correta, o enunciado pede a afirmação equivalente na forma direta, e D a apresenta nessa ordem padrão. Portanto, A é um distrator que pode confundir.
Alternativa B — ❌ Incorreta
A alternativa B diz: "Paulo é o tesoureiro ou Rodrigo é o diretor, e de modo algum Rodrigo é o diretor e Paulo é o tesoureiro." Traduzindo: (q ∨ p) ∧ ¬(p ∧ q). Isso equivale a p XOR q, ou seja, "Rodrigo é o diretor ou Paulo é o tesoureiro" (exclusivo), que é diferente da original (que envolve Paulo não é o tesoureiro). Portanto, é incorreta.
Alternativa C — ❌ Incorreta
A alternativa C usa "ou de modo algum" no lugar de "e de modo algum", alterando o conectivo principal: "Paulo é o tesoureiro ou Rodrigo não é o diretor, ou de modo algum Rodrigo é o diretor ou Paulo não é o tesoureiro." Isso resulta em uma expressão diferente, não equivalente à original.
Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Conforme explicado, D é a representação direta da equivalência (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q) para p = Rodrigo é o diretor e q = Paulo não é o tesoureiro. A primeira parte afirma a disjunção inclusiva, e a segunda parte nega a possibilidade de ambos serem verdadeiros ao mesmo tempo, exatamente o que caracteriza o "ou...ou" exclusivo.
Alternativa E — ❌ Incorreta
A alternativa E: "Paulo não é o tesoureiro ou Rodrigo não é o diretor, e de modo algum Rodrigo não é o diretor e Paulo não é o tesoureiro." Isso equivale a (¬q ∨ ¬p) ∧ ¬(¬p ∧ ¬q) = (¬p ∨ ¬q) ∧ (p ∨ q), que é a mesma expressão da alternativa B (p XOR q), não da original. Portanto, incorreta.
PEGA ESSA DICA!
Para resolver questões de equivalência de "ou...ou" exclusivo, lembre-se da fórmula: p XOR q ≡ (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q). Monte as proposições p e q conforme o enunciado e aplique diretamente. Cuidado apenas com a ordem das cláusulas: a banca pode considerar correta apenas a forma que coloca primeiro a disjunção inclusiva e depois a negação da conjunção, como na alternativa D.
PEGA ESSA DICA!
NETONÃO
Mnemônico para a negação de 'ALGUM': NETO = Nenhum / TOdo, + NÃO. A negação de 'Algum A é B' resulta em 'Nenhum A é B' (equivalente a 'Todo A não é B').