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Questão de Matemática — MMC e MDC — VUNESP 2019

MatemáticaMMC e MDC
Código
vu042807
Banca
VUNESP
Órgão
Prefeitura de Arujá - SP
Ano
2019
Nível
Superior
Cargo
Controlador de Patrimônio
Uma papelaria dispõe de 36 apontadores e 51 borrachas e irá separá-los em pacotinhos, cada um deles com o mesmo número de peças e na maior quantidade possível. Sabendo-se que cada pacotinho não poderá ter apontadores e borrachas juntos, então o maior número possível de pacotinhos com apontadores que poderão ser feitos será
  1. A9.
  2. B12.
  3. C15.
  4. D17.
  5. E20.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 12.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 12 pacotes de apontadores (alternativa B)..

A ideia por trás

O Máximo Divisor Comum (MDC) é o maior número que divide dois ou mais números ao mesmo tempo, sem deixar resto. Ele serve para dividir quantidades em grupos do maior tamanho possível, sem sobras. Quando o problema pede para separar objetos em pacotes iguais e na maior quantidade possível, o tamanho de cada pacote é o MDC das quantidades. Nesta questão, precisamos dividir 36 apontadores e 51 borrachas em pacotes do mesmo tamanho, sem misturar os itens, então calculamos o MDC de 36 e 51 para saber quantas peças vão em cada pacote, e depois dividimos a quantidade de apontadores por esse valor para achar o número de pacotes.

O que a questão dá

  • 36 apontadores

  • 51 borrachas

  • cada pacote com o mesmo número de peças

  • pacotes não podem misturar apontadores e borrachas

  • maior quantidade possível de peças por pacote

O que queremos: o maior número possível de pacotinhos com apontadores

Passo 1 — Fatorar 36 em números primos

Para calcular o MDC, precisamos decompor cada número em fatores primos. Isso mostra quais fatores eles têm em comum.

Por que esta fórmula: A fatoração prima é a base para achar o MDC: o MDC é o produto dos fatores comuns com os menores expoentes.

36=22×3236 = 2^{2} \times 3^{2}

De onde vem cada valor: 3636 = enunciado: 36 apontadores

36=2×2×3×336 = 2 \times 2 \times 3 \times 3
36=22×3236 = \boxed{2^{2} \times 3^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de fatorar completamente, como parar em 36 = 4 × 9, sem chegar aos primos.

Passo 2 — Fatorar 51 em números primos

Precisamos da fatoração de 51 para comparar com a de 36 e achar os fatores comuns.

Por que esta fórmula: A fatoração prima de 51 revela seus divisores: 51 = 3 × 17, pois 51 é divisível por 3 e por 17.

51=3×1751 = 3 \times 17

De onde vem cada valor: 5151 = enunciado: 51 borrachas

51=3×1751 = 3 \times 17
51=3×1751 = \boxed{3 \times 17}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que 51 é primo, mas ele é divisível por 3.

Passo 3 — Calcular o MDC entre 36 e 51

Com as fatorações, identificamos os fatores comuns e tomamos os de menor expoente para obter o MDC, que será o tamanho de cada pacote.

Por que esta fórmula: O MDC é o produto dos fatores primos comuns com os menores expoentes. Aqui, o único fator comum é 3, com expoente 1.

MDC(36,51)=31=3MDC(36, 51) = 3^{1} = 3

De onde vem cada valor: 313^{1} = passo 1 e passo 2: fator comum 3

MDC=3=3 pec\casporpacoteMDC = 3 = \boxed{3\ \text{pe}ç\text{as} \text{por} \text{pacote}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o MMC (612) em vez do MDC, o que não atende ao pedido de 'maior quantidade possível'.

Passo 4 — Dividir os apontadores pelo MDC

Cada pacote terá 3 peças, então o número de pacotes de apontadores é a quantidade total dividida pelo tamanho de cada pacote.

Por que esta fórmula: Se temos 36 apontadores e cada pacote leva 3, o número de pacotes é 36 ÷ 3.

Npacotes=363N_{pacotes} = \frac{36}{3}

De onde vem cada valor: 3636 = enunciado: 36 apontadores · 33 = passo 3: MDC

Npacotes=363=12 pacotesN_{pacotes} = \frac{36}{3} = \boxed{12\ \text{pacotes}}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir 51 por 3 e achar 17, que é o número de pacotes de borrachas, não de apontadores.

Resposta: 12 pacotes de apontadores (alternativa B).

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