Questão de Raciocínio Lógico — Fundamentos de Lógica — VUNESP 2019

Equivalência lógica da condicional: contrapositiva

Gabarito: letra C. A proposição “Se Marcos é engenheiro, então Roberta é enfermeira e Ana é psicóloga” é uma condicional $P \rightarrow (Q \land R)$. Sua equivalente lógica clássica é a contrapositiva: nega-se o consequente e o antecedente, invertendo a ordem — $\neg(Q \land R) \rightarrow \neg P$. Pela Lei de De Morgan, $\neg(Q \land R)$ equivale a $\neg Q \lor \neg R$, resultando em “Se Roberta não é enfermeira ou Ana não é psicóloga, então Marcos não é engenheiro” — exatamente a alternativa C.

A equivalência entre uma condicional e sua contrapositiva é um dos pilares da lógica proposicional. Duas proposições são logicamente equivalentes quando possuem a mesma tabela-verdade, ou seja, assumem o mesmo valor lógico (V ou F) em todas as combinações possíveis de valores das proposições simples que as compõem. No caso da condicional, a contrapositiva é a única transformação que preserva a equivalência — nem a recíproca, nem a inversa são equivalentes à original.

A banca explora justamente a confusão entre contrapositiva (equivalente) e recíproca (não equivalente). A recíproca de $P \rightarrow Q$ é $Q \rightarrow P$; a inversa é $\neg P \rightarrow \neg Q$. Nenhuma das duas é equivalente à condicional original. A contrapositiva, por sua vez, é $\neg Q \rightarrow \neg P$. Quando o consequente é uma conjunção, a negação dessa conjunção exige a Lei de De Morgan: $\neg(Q \land R) \equiv \neg Q \lor \neg R$. É exatamente essa passagem que a alternativa C realiza corretamente.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta a recíproca da condicional: “Se Roberta é enfermeira e Ana é psicóloga, então Marcos é engenheiro” ($(Q \land R) \rightarrow P$). A recíproca não é logicamente equivalente à condicional original. Basta um contraexemplo: se $P$ é falso e $Q \land R$ é verdadeiro, a original é verdadeira (antecedente falso), mas a recíproca é falsa (antecedente verdadeiro, consequente falso). Portanto, não há equivalência.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta a inversa da condicional: “Se Marcos não é engenheiro, então Roberta não é enfermeira e Ana não é psicóloga” ($\neg P \rightarrow (\neg Q \land \neg R)$). A inversa também não é equivalente à original. Além disso, há um erro adicional: a negação correta de $Q \land R$ é $\neg Q \lor \neg R$ (Lei de De Morgan), e não $\neg Q \land \neg R$. A alternativa B erra tanto na estrutura (inversa em vez de contrapositiva) quanto na aplicação da negação da conjunção.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a contrapositiva da condicional original, com a negação do consequente corretamente aplicada pela Lei de De Morgan. Vejamos o passo a passo:

1. Original: $P \rightarrow (Q \land R)$

2. Contrapositiva: $\neg(Q \land R) \rightarrow \neg P$

3. Lei de De Morgan: $\neg(Q \land R) \equiv \neg Q \lor \neg R$

4. Resultado: $(\neg Q \lor \neg R) \rightarrow \neg P$

Traduzindo: “Se Roberta não é enfermeira ou Ana não é psicóloga, então Marcos não é engenheiro”. A alternativa C reproduz exatamente essa forma, com o conectivo “ou” (disjunção inclusiva) entre as negações das proposições simples do consequente.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta uma conjunção de três proposições: “Roberta não é enfermeira, Ana não é psicóloga e Marcos não é engenheiro” ($\neg Q \land \neg R \land \neg P$). Isso não é uma condicional e não guarda relação de equivalência com a proposição original. A conjunção só é verdadeira quando todas as três proposições são verdadeiras, enquanto a condicional é falsa apenas em uma linha específica da tabela-verdade. São estruturas lógicas completamente distintas.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta outra conjunção: “Ana é psicóloga, Marcos é engenheiro e Roberta é enfermeira” ($R \land P \land Q$). Além de ser uma conjunção (não uma condicional), a ordem dos termos é irrelevante na conjunção, mas o valor lógico não corresponde ao da proposição original. A conjunção exige que todas as proposições sejam verdadeiras, enquanto a condicional é verdadeira em três das quatro combinações possíveis (quando o antecedente é falso ou quando ambos são verdadeiros). Não há equivalência.

Gabarito: letra C