Matemática · VUNESP · 2019 | Questão sqc-vu044128

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a R$ 28,00 (alternativa A).

A ideia por trás

Quando um problema diz que uma quantia é o quádruplo de outra, ou a quinta parte, estamos lidando com proporções: cada quantia é um múltiplo ou fração de uma quantia de referência. A estratégia é escolher a menor quantia (ou a que aparece como base) como incógnita e escrever todas as outras em função dela. Assim, a soma total vira uma equação com uma única incógnita, que podemos resolver. Nesta questão, a quantia de Carlos é a base: André é 4 vezes Carlos, Bernardo é um quinto de André, e Daniel é metade de Bernardo. Precisamos montar a equação da soma e achar Carlos, para então calcular Bernardo e a diferença pedida.

O que a questão dá

total dos quatro irmãos = R$ 868,00
André = 4 × Carlos
Bernardo = André ÷ 5
Daniel = Bernardo ÷ 2

O que queremos: a diferença entre as quantias de Carlos e Bernardo

Passo 1 — Expressar André em função de Carlos

Precisamos relacionar todas as quantias a uma única incógnita para montar a equação do total. Como André é o quádruplo de Carlos, escrevemos A = 4C.

Por que esta fórmula: O enunciado diz 'André tem o quádruplo da quantia que Carlos tem', então multiplicamos a quantia de Carlos por 4.

A = 4 \cdot C

De onde vem cada valor: $A$ = enunciado: André · $C$ = enunciado: quantia de Carlos (incógnita)

A = 4 \cdot C

A = \boxed{4\ \text{C}}

NÃO CAIA NESSA!

Confundir a ordem: 'quádruplo de Carlos' significa 4 × Carlos, não Carlos ÷ 4.

Passo 2 — Expressar Bernardo em função de Carlos

Bernardo depende de André, que já está em função de Carlos. Substituímos A por 4C para obter B em função de C.

Por que esta fórmula: Bernardo tem a quinta parte de André, ou seja, B = A/5. Como A = 4C, substituímos.

B = \frac{A}{5} = \frac{4C}{5}

De onde vem cada valor: $B$ = enunciado: Bernardo · $A$ = passo 1: A = 4C · $C$ = enunciado: quantia de Carlos

B = \frac{4C}{5}

B = \boxed{\frac{4C}{5}}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de substituir A por 4C e tentar usar A como incógnita separada.

Passo 3 — Expressar Daniel em função de Carlos

Daniel depende de Bernardo, que já está em função de Carlos. Substituímos B para obter D em função de C.

Por que esta fórmula: Daniel tem a metade de Bernardo, ou seja, D = B/2. Como B = 4C/5, substituímos.

D = \frac{B}{2} = \frac{4C}{5} \div 2 = \frac{2C}{5}

De onde vem cada valor: $D$ = enunciado: Daniel · $B$ = passo 2: B = 4C/5 · $C$ = enunciado: quantia de Carlos

D = \frac{4C}{5} \div 2 = \frac{2C}{5}

D = \boxed{\frac{2C}{5}}

NÃO CAIA NESSA!

Dividir apenas o numerador por 2, esquecendo que a fração inteira é dividida.

Passo 4 — Montar a equação da soma total

A soma das quatro quantias é R$ 868,00. Com todas expressas em função de C, podemos montar uma equação com uma única incógnita.

Por que esta fórmula: A soma dos valores de Carlos, André, Bernardo e Daniel deve ser igual ao total dado.

C + A + B + D = 868

De onde vem cada valor: $C$ = enunciado: quantia de Carlos · $A$ = passo 1: A = 4C · $B$ = passo 2: B = 4C/5 · $D$ = passo 3: D = 2C/5 · $868$ = enunciado: total

C + 4C + \frac{4C}{5} + \frac{2C}{5} = 868

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de incluir a quantia de Carlos na soma.

Passo 5 — Simplificar a equação somando os termos com C

Para resolver a equação, precisamos combinar os termos semelhantes. Os termos com C podem ser somados.

Por que esta fórmula: Somamos os coeficientes de C: 1 + 4 = 5 para os inteiros, e as frações 4/5 + 2/5 = 6/5.

5C + \frac{6C}{5} = 868

De onde vem cada valor: $5C$ = passo 4: C + 4C · $\frac{6C}{5}$ = passo 4: $\frac{4C}{5}$ + $\frac{2C}{5}$ · $868$ = enunciado: total

5C + \frac{6C}{5} = 868

NÃO CAIA NESSA!

Somar 4/5 + 2/5 como 6/10 em vez de 6/5.

Passo 6 — Eliminar o denominador multiplicando por 5

A equação tem uma fração; multiplicar todos os termos por 5 a transforma em uma equação inteira, mais fácil de resolver.

Por que esta fórmula: Multiplicar ambos os lados por 5 elimina o denominador 5.

5 \cdot (5C + \frac{6C}{5}) = 5 \cdot 868

De onde vem cada valor: $5C$ = passo 5 · $\frac{6C}{5}$ = passo 5 · $868$ = enunciado: total

25C + 6C = 4340

NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar apenas o termo fracionário por 5, esquecendo os outros termos.

Passo 7 — Resolver a equação para achar C

Agora temos uma equação linear simples; somamos os termos com C e isolamos C.

Por que esta fórmula: 25C + 6C = 31C, então 31C = 4340; dividimos ambos os lados por 31.

31C = 4340 \Rightarrow C = \frac{4340}{31}

De onde vem cada valor: $31C$ = passo 6: 25C + 6C · $4340$ = passo 6: resultado da multiplicação · $31$ = passo 6: coeficiente de C

C = \frac{4340}{31} = 140

C = \boxed{140\ \text{reais}}

NÃO CAIA NESSA!

Errar a divisão 4340 ÷ 31; conferir que 31 × 140 = 4340.

Passo 8 — Calcular a quantia de Bernardo e a diferença

Com C conhecido, calculamos B usando a relação do passo 2 e depois a diferença pedida.

Por que esta fórmula: B = 4C/5; substituímos C = 140. A diferença é C - B.

B = \frac{4 \cdot 140}{5} = 112; \quad \text{diferença} = 140 - 112

De onde vem cada valor: $4$ = passo 2: coeficiente · $140$ = passo 7: valor de C · $5$ = passo 2: denominador · $112$ = cálculo de B

B = \frac{4 \cdot 140}{5} = \frac{560}{5} = 112; \quad 140 - 112 = 28

diferença = \boxed{28\ \text{reais}}

NÃO CAIA NESSA!

Calcular B como 4 × 140 = 560 sem dividir por 5, ou inverter a subtração (112 - 140 = -28).

Resposta: R$ 28,00 (alternativa A)

Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2019

Resolução

A ideia por trás

O que a questão dá

Passo 1 — Expressar André em função de Carlos

Passo 2 — Expressar Bernardo em função de Carlos

Passo 3 — Expressar Daniel em função de Carlos

Passo 4 — Montar a equação da soma total

Passo 5 — Simplificar a equação somando os termos com C

Passo 6 — Eliminar o denominador multiplicando por 5

Passo 7 — Resolver a equação para achar C

Passo 8 — Calcular a quantia de Bernardo e a diferença