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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2019

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
vu044129
Banca
VUNESP
Órgão
Prefeitura de Campinas - SP
Ano
2019
Nível
Superior
Cargo
Auditor de Controle Interno
No primeiro jogo de uma decisão de vôlei, a razão entre o número de homens e mulheres presentes no ginásio era 4/3. No segundo jogo, em relação ao primeiro jogo, o número de mulheres presentes foi 123 a mais e o número de homens presentes foi menor, de modo que a razão entre o número de homens e mulheres presentes no ginásio foi 3/4. Se o total de pessoas presentes no segundo jogo foi 882, o número de homens presentes no primeiro jogo excedeu o número de homens presentes no segundo jogo em
  1. A126.
  2. B128.
  3. C129.
  4. D130.
  5. E127.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 130.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 130 (alternativa D).

A ideia por trás

Razão e proporção são uma forma de comparar duas quantidades: se a razão entre homens e mulheres é 4/3, isso significa que, para cada 4 homens, há 3 mulheres. Essa razão pode ser escrita como uma fração, e a partir dela podemos montar equações que relacionam as quantidades. Quando temos duas situações diferentes (os dois jogos), usamos as razões de cada uma para montar um sistema de equações, e o total de pessoas em um dos jogos nos dá uma equação extra para descobrir os valores reais. Nesta questão, a razão inverte de 4/3 para 3/4, e o total do segundo jogo é dado, então precisamos usar essas informações para encontrar o número de homens em cada jogo e depois subtrair.

O que a questão dá

  • razão homens/mulheres no 1º jogo = 4/3

  • razão homens/mulheres no 2º jogo = 3/4

  • mulheres no 2º jogo = mulheres no 1º + 123

  • total de pessoas no 2º jogo = 882

O que queremos: a diferença entre o número de homens no 1º jogo e no 2º jogo

Passo 1 — Escrever a razão do primeiro jogo como equação

A razão entre homens e mulheres no primeiro jogo é 4/3. Isso significa que, para cada 4 homens, há 3 mulheres. Podemos transformar essa razão em uma equação que relaciona o número de homens (H₁) e o de mulheres (M₁), o que será útil para substituir mais adiante.

Por que esta fórmula: A razão H₁/M₁ = 4/3 é a definição de razão: uma fração que compara duas grandezas. Multiplicando em cruz, obtemos H₁ = (4/3)M₁, que é uma forma de expressar H₁ em função de M₁.

H1M1=43⇒H1=43M1\frac{H_1}{M_1} = \frac{4}{3} \Rightarrow H_1 = \frac{4}{3}M_1

De onde vem cada valor: H1H_1 = enunciado: número de homens no 1º jogo (incógnita) · M1M_1 = enunciado: número de mulheres no 1º jogo (incógnita)

NÃO CAIA NESSA!

Inverter a razão, escrevendo H₁/M₁ = 3/4, o que levaria a valores trocados.

Passo 2 — Escrever a razão do segundo jogo como equação

No segundo jogo, a razão inverteu para 3/4, e sabemos que as mulheres aumentaram 123 em relação ao primeiro jogo. Precisamos expressar H₂ em função de M₁ para podermos usar o total do segundo jogo.

Por que esta fórmula: A razão H₂/M₂ = 3/4 é dada. Como M₂ = M₁ + 123, substituímos M₂ na equação para obter H₂ em termos de M₁.

H2M2=34⇒H2=34M2=34(M1+123)\frac{H_2}{M_2} = \frac{3}{4} \Rightarrow H_2 = \frac{3}{4}M_2 = \frac{3}{4}(M_1 + 123)

De onde vem cada valor: H2H_2 = enunciado: número de homens no 2º jogo (incógnita) · M2M_2 = enunciado: M₂ = M₁ + 123 · M1M_1 = passo 1

NÃO CAIA NESSA!

Usar a razão 4/3 também no segundo jogo, esquecendo que ela inverteu.

Passo 3 — Montar a equação do total do segundo jogo

O total de pessoas no segundo jogo é 882. Isso nos dá uma equação com H₂ e M₂, que podemos substituir pelas expressões em função de M₁, permitindo encontrar M₁.

Por que esta fórmula: O total é a soma de homens e mulheres: H₂ + M₂ = 882. Substituímos H₂ pela expressão do passo 2 e M₂ por M₁ + 123.

H2+M2=882⇒34(M1+123)+(M1+123)=882H_2 + M_2 = 882 \Rightarrow \frac{3}{4}(M_1 + 123) + (M_1 + 123) = 882

De onde vem cada valor: H2H_2 = passo 2: 34\frac{3}{4}(M_1 + 123) · M2M_2 = enunciado: M₁ + 123 · 882882 = enunciado: total de pessoas no 2º jogo

34(M1+123)+(M1+123)=882\frac{3}{4}(M_1 + 123) + (M_1 + 123) = 882
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar M₂ corretamente, ou não distribuir o 3/4.

Passo 4 — Simplificar a equação do total

A equação tem dois termos com (M₁ + 123). Podemos somá-los: 3/4 + 1 = 7/4, então a equação fica mais simples de resolver.

Por que esta fórmula: Como ambos os termos têm o fator (M₁ + 123), colocamos em evidência: (3/4 + 1)(M₁ + 123) = (7/4)(M₁ + 123).

74(M1+123)=882\frac{7}{4}(M_1 + 123) = 882

De onde vem cada valor: 74\frac{7}{4} = passo 3: soma de 3/4 e 1 · M1+123M_1 + 123 = passo 3 · 882882 = enunciado

74(M1+123)=882\frac{7}{4}(M_1 + 123) = 882
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma de frações: 3/4 + 1 = 7/4, não 4/4.

Passo 5 — Isolar M₁ + 123

Para encontrar M₁, precisamos primeiro isolar o termo (M₁ + 123). Multiplicamos ambos os lados por 4/7, o inverso de 7/4.

Por que esta fórmula: Para desfazer a multiplicação por 7/4, multiplicamos pelo inverso multiplicativo 4/7, pois (7/4)·(4/7) = 1.

M1+123=882×47M_1 + 123 = 882 \times \frac{4}{7}

De onde vem cada valor: 882882 = enunciado · 47\frac{4}{7} = inverso de 7/4

M1+123=882×47=504M_1 + 123 = 882 \times \frac{4}{7} = \boxed{504}
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar por 7/4 em vez de 4/7, ou errar a conta 882·4/7.

Passo 6 — Calcular M₁

Agora que sabemos que M₁ + 123 = 504, subtraímos 123 para obter o número de mulheres no primeiro jogo.

Por que esta fórmula: A equação M₁ + 123 = 504 é resolvida subtraindo 123 de ambos os lados.

M1=504−123M_1 = 504 - 123

De onde vem cada valor: 504504 = passo 5 · 123123 = enunciado: aumento de mulheres

M1=504−123=381M_1 = 504 - 123 = \boxed{381}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair 123, ou errar a subtração.

Passo 7 — Calcular H₁

Com M₁ conhecido, usamos a razão do primeiro jogo para encontrar o número de homens.

Por que esta fórmula: Da equação H₁ = (4/3)M₁, substituímos M₁ pelo valor encontrado.

H1=43M1H_1 = \frac{4}{3}M_1

De onde vem cada valor: 43\frac{4}{3} = passo 1 · M1M_1 = passo 6: 381

H1=43×381=508H_1 = \frac{4}{3} \times 381 = \boxed{508}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a razão invertida 3/4, ou errar a multiplicação.

Passo 8 — Calcular H₂ e a diferença

Precisamos do número de homens no segundo jogo para comparar. Usamos a razão do segundo jogo e depois subtraímos.

Por que esta fórmula: Primeiro calculamos M₂ = M₁ + 123, depois H₂ = (3/4)M₂. A diferença pedida é H₁ − H₂.

M2=M1+123,H2=34M2,ΔH=H1−H2M_2 = M_1 + 123, \quad H_2 = \frac{3}{4}M_2, \quad \Delta H = H_1 - H_2

De onde vem cada valor: M1M_1 = passo 6: 381 · 123123 = enunciado · H1H_1 = passo 7: 508

M2=381+123=504,H2=34×504=378,ΔH=508−378=130M_2 = 381 + 123 = 504, \quad H_2 = \frac{3}{4} \times 504 = 378, \quad \Delta H = 508 - 378 = \boxed{130}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular H₂ usando a razão 4/3, ou errar a subtração final.

Resposta: 130 (alternativa D)

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