Questão de Matemática — Problemas — VUNESP 2019

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 528 pessoas (alternativa C).

A ideia por trás

Porcentagem é uma forma de comparar quantidades: dizer que algo é 76% de outro significa multiplicar esse outro por 0,76. Quando temos duas condições sobre as mesmas incógnitas, montamos um sistema de equações: cada condição vira uma equação, e resolvemos juntas. Nesta questão, a primeira condição relaciona homens e mulheres no sábado; a segunda, a diferença entre eles no domingo. O passo chave é traduzir corretamente a frase 'X é igual a Y% de Z' como X = (Y/100)·Z, sem inverter os sujeitos.

O que a questão dá

• homens no sábado = 76% das mulheres

• domingo: +81 homens e +37 mulheres

• no domingo, mulheres excedem homens em 28

O que queremos: o total de presentes no sábado (homens + mulheres)

Passo 1 — Definir as incógnitas do sábado

Precisamos nomear as quantidades que queremos descobrir para poder montar equações. Vamos chamar de H o número de homens e de M o número de mulheres presentes no sábado.

Passo 2 — Montar a equação da porcentagem

O enunciado diz que o número de homens é 76% do número de mulheres. Isso significa que H é igual a 76% de M, ou seja, H = 0,76·M. Essa é a primeira equação do sistema.

Por que esta fórmula: A frase 'X é igual a Y% de Z' sempre vira X = (Y/100)·Z. Aqui, X é H, Y é 76 e Z é M.

De onde vem cada valor: $H$ = incógnita definida no passo 1 · $0{,}76$ = enunciado: 76% = 76/100 · $M$ = incógnita definida no passo 1

Passo 3 — Montar a equação da diferença no domingo

No domingo, entram mais 81 homens e 37 mulheres. Então o número de homens no domingo é H+81 e o de mulheres é M+37. O enunciado diz que as mulheres excedem os homens em 28, ou seja, (M+37) - (H+81) = 28. Essa é a segunda equação.

Por que esta fórmula: A diferença entre duas quantidades é a subtração da maior pela menor. Como as mulheres excedem os homens, subtraímos os homens das mulheres.

De onde vem cada valor: $M$ = incógnita definida no passo 1 · $37$ = enunciado: +37 mulheres no domingo · $H$ = incógnita definida no passo 1 · $81$ = enunciado: +81 homens no domingo · $28$ = enunciado: mulheres excedem homens em 28

Passo 4 — Simplificar a equação da diferença

Para facilitar a resolução, vamos simplificar a equação do domingo: subtraímos 81 de 37, que dá -44, e passamos para o outro lado. Assim, obtemos M - H = 72.

Por que esta fórmula: Simplificar uma equação significa isolar os termos com incógnitas de um lado e os números do outro, para deixá-la mais limpa.

De onde vem cada valor: $M - H$ = passo 3: (M+37) - (H+81) = 28, simplificando · $72$ = passo 3: 28 + 44 = 72

Passo 5 — Substituir H na equação da diferença

Temos duas equações com duas incógnitas. Para resolver, substituímos H por 0,76·M (da equação do passo 2) na equação M - H = 72. Isso transforma em uma equação só com M.

Por que esta fórmula: Substituição é um método de resolver sistemas: usamos uma equação para expressar uma incógnita em função da outra e trocamos na segunda equação.

De onde vem cada valor: $M$ = passo 4: M - H = 72 · $0{,}76 \cdot M$ = passo 2: H = 0,76·M

Passo 6 — Calcular o número de mulheres

Agora temos uma equação simples: 0,24·M = 72. Para achar M, dividimos os dois lados por 0,24. Isso dá M = 300.

Por que esta fórmula: Para isolar M, fazemos a operação inversa da multiplicação: dividir.

De onde vem cada valor: $72$ = passo 5: M - 0,76·M = 72 · $0{,}24$ = passo 5: 1 - 0,76 = 0,24

Passo 7 — Calcular o número de homens

Com M = 300, usamos a equação do passo 2 para achar H: H = 0,76·300 = 228.

Por que esta fórmula: A equação H = 0,76·M relaciona diretamente H com M; basta substituir o valor de M.

De onde vem cada valor: $0{,}76$ = passo 2: H = 0,76·M · $300$ = passo 6: M = 300

Passo 8 — Somar homens e mulheres do sábado

O total de presentes no sábado é a soma de homens e mulheres: H + M. Com H = 228 e M = 300, somamos: 228 + 300 = 528.

Por que esta fórmula: O total é a soma das partes.

De onde vem cada valor: $H$ = passo 7: H = 228 · $M$ = passo 6: M = 300

Resposta: 528 pessoas (alternativa C)