Problema de lógica: Verdades e mentiras
Gabarito: letra E (total de 54 broches). A partir das declarações, determina-se que Ari tem 10, Beto 10, Cerne 11, Dani 12 e Eli 11, somando 54 broches. A chave está em usar as condições de que quem tem 11 fala a verdade e quem tem 10 ou 12 mente, analisando cada afirmação.
Vamos detalhar a resolução:
Denotemos as quantidades de broches como A, B, C, D, E ∈ {10,11,12}.
Quem tem 11 sempre diz a verdade; quem tem 10 ou 12 sempre mente.
Lista de afirmações:
Ari: A+B=21
Beto: B+C≠21
Cerne: existe X (X≠Cerne) tal que C+X=22
Dani: D+E=24
Eli: E+A=21
Beto: B=12
Cerne: Alguém tem 12
Dani: E=12
Passo 1: Analisemos a afirmação 4 (D+E=24). A única soma possível com valores {10,11,12} é 12+12=24. Se fosse verdadeira, Dani teria 12 (mentiroso) e Eli teria 12 (mentiroso). Mas mentirosos mentem, então a afirmação deveria ser falsa – contradição. Portanto, a afirmação 4 é falsa. Logo, Dani é mentiroso (D∈{10,12}) e D+E≠24.
Passo 2: Afirmação 8 (E=12). Como Dani é mentiroso, essa afirmação é falsa, então E≠12.
Passo 3: Afirmação 6 (B=12). Se Beto fosse verdadeiro (B=11), sua afirmação seria verdadeira, implicando B=12, o que é impossível. Logo, Beto é mentiroso (B∈{10,12}) e sua afirmação é falsa: B≠12. Portanto, B=10.
Passo 4: Afirmação 2 (B+C≠21). Como Beto é mentiroso, a afirmação é falsa, então B+C=21. Com B=10, temos C=11. Cerne é verdadeiro (C=11).
Passo 5: Cerne é verdadeiro, então suas afirmações são verdadeiras:
Afirmação 7: existe alguém com 12. Portanto, ao menos uma pessoa entre A, D, E tem 12.
Afirmação 3: existe outra pessoa X (X≠Cerne) tal que C+X=22 → 11+X=22 → X=11. Logo, exatamente um outro (além de Cerne) tem 11 (pois se houvesse mais, ainda existiria, mas a existência é suficiente). Então entre A, D, E, exatamente um tem 11.
Passo 6: Temos D∈{10,12} (mentiroso), E≠12, e exatamente um entre A, D, E é 11. Testemos as possibilidades.
Hipótese A=11. Então Ari é verdadeiro. Afirmação 1: A+B=11+10=21, verdadeira. Como exatamente um outro é 11, D e E não podem ser 11. Resta que um deles seja 12 (para satisfazer a afirmação 7). Como E≠12, só D=12. Então E só pode ser 10. Verifiquemos Eli: E=10 (mentiroso), afirmação 5: E+A=10+11=21, que é verdadeira – mentiroso não pode dizer verdade. Conflito. Portanto, A≠11.
Hipótese E=11. Então Eli é verdadeiro. Afirmação 5: E+A=11+A=21 → A=10. Ari é mentiroso (A=10) e sua afirmação 1 é A+B=10+10=20≠21, falsa – coerente. Agora precisamos de alguém com 12 (afirmação 7). Restam D e A; A=10, então D deve ser 12. D=12 (mentiroso). Verifiquemos Dani: afirmação 4 (D+E=12+11=23≠24) falsa, afirmação 8 (E=12) falsa – ambas falsas, como esperado de mentiroso. Cerne: afirmação 3 satisfeita (existe E=11). Portanto, valores: A=10, B=10, C=11, D=12, E=11. Soma = 54.
Conclusão: Total de broches é 54, correspondente à alternativa E.
Alternativa A — ❌ Incorreta
Afirma total 53, mas o cálculo correto resulta 54.
Alternativa B — ❌ Incorreta
Afirma total 56, incompatível com a única solução encontrada.
Alternativa C — ❌ Incorreta
Afirma total 55, não corresponde.
Alternativa D — ❌ Incorreta
Afirma total 57, não corresponde.
Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Total de 54 broches, conforme dedução consistente com todas as condições.
Gabarito: letra E