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Questão de Matemática — Álgebra — VUNESP 2019

MatemáticaÁlgebra
Código
vu046342
Banca
VUNESP
Órgão
Prefeitura de Dois Córregos - SP
Ano
2019
Nível
Médio
Cargo
Fiscal de Tributos
Marcos disse que tem o triplo do dinheiro de Pedro. Já Pedro falou que tem 10 reais a menos do que a metade do dinheiro de Luciana. Sabendo que os três juntos possuem R$ 72,50, a quantia que Luciana tem a mais que a quantia de Marcos e Pedro é
  1. AR$ 3,25.
  2. BR$ 3,00
  3. CR$ 2,75.
  4. DR$ 2,50.
  5. ER$ 2,25.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — R$ 2,50.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a R$ 2,50 (alternativa D).

A ideia por trás

Este problema trata de equações do 1º grau com três incógnitas. No mundo real, isso significa transformar frases em relações matemáticas: cada afirmação sobre 'ter o triplo', 'ter 10 a menos que a metade' vira uma equação. A soma total é outra equação. Resolver o sistema é encontrar os valores que satisfazem todas as relações ao mesmo tempo. A relação central é a substituição: se M = 3P e P = L/2 - 10, então podemos expressar M e L em função de P, reduzindo o problema a uma única equação. Quando uma grandeza cresce, as outras mudam conforme as relações; aqui, dobrar Pedro dobra Marcos e aumenta Luciana em 20. A condição de validade é que as quantias sejam não negativas. Nesta questão, precisamos montar as três equações, resolver por substituição e depois calcular a diferença pedida.

O que a questão dá

  • Marcos = triplo de Pedro

  • Pedro = metade de Luciana menos 10 reais

  • soma dos três = R$ 72,50

O que queremos: a quantia que Luciana tem a mais que Marcos e Pedro juntos

Passo 1 — Montar as equações do problema

Precisamos traduzir as frases do enunciado em linguagem matemática. Cada relação entre as quantias vira uma equação, e a soma total é a terceira. Sem isso, não há como resolver.

Por que esta fórmula: A frase 'Marcos tem o triplo de Pedro' significa M = 3P. 'Pedro tem 10 a menos que a metade de Luciana' significa P = L/2 - 10. A soma é M + P + L = 72,50.

M=3P,P=L2−10,M+P+L=72,50M = 3P, P = \frac{L}{2} - 10, M + P + L = 72{,}50

De onde vem cada valor: MM = enunciado: Marcos · PP = enunciado: Pedro · LL = enunciado: Luciana

NÃO CAIA NESSA!

Interpretar '10 a menos que a metade' como P = L/2 + 10, invertendo o sinal.

Passo 2 — Expressar L em função de P

Para resolver o sistema, precisamos de uma única variável. Como já temos M = 3P, vamos isolar L na equação de Pedro.

Por que esta fórmula: Da equação P = L/2 - 10, somamos 10 nos dois lados e multiplicamos por 2: L = 2(P + 10) = 2P + 20.

L=2P+20L = 2P + 20

De onde vem cada valor: PP = passo 1 · LL = passo 1

L=2(P+10)L = 2(P + 10)
L=2 P+20L = \boxed{2\ \text{P} + 20}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de distribuir o 2: escrever L = 2P + 10 em vez de 2P + 20.

Passo 3 — Substituir na equação da soma

Agora temos M e L em função de P. Substituindo na soma, sobra uma equação só com P, que podemos resolver.

Por que esta fórmula: A soma total é M + P + L = 72,50. Trocando M por 3P e L por 2P + 20, obtemos uma equação do 1º grau em P.

3P+P+(2P+20)=72,503P + P + (2P + 20) = 72{,}50

De onde vem cada valor: 3P3P = passo 1: M = 3P · PP = passo 1: Pedro · 2P+202P + 20 = passo 2: L = 2P + 20 · 72,5072{,}50 = enunciado: soma total

3P+P+2P+20=72,503P + P + 2P + 20 = 72{,}50
6P+20=72,506P + 20 = \boxed{72{,}50}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma dos coeficientes: 3P + P + 2P = 6P, não 5P.

Passo 4 — Isolar P na equação

Precisamos do valor de P para achar os outros. Isolamos P subtraindo 20 e dividindo por 6.

Por que esta fórmula: A equação 6P + 20 = 72,50 é do 1º grau. Subtraímos 20 dos dois lados e dividimos por 6.

P=72,50−206P = \frac{72{,}50 - 20}{6}

De onde vem cada valor: 72,5072{,}50 = passo 3 · 2020 = passo 3 · 66 = passo 3: coeficiente de P

P=52,506P = \frac{52{,}50}{6}
P=8,75P = \boxed{8{,}75}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir errado: 52,50 ÷ 6 = 8,75, não 8,25.

Passo 5 — Calcular M e L

Com P conhecido, usamos as relações para achar Marcos e Luciana.

Por que esta fórmula: M = 3P e L = 2P + 20, substituindo P = 8,75.

M=3×8,75,L=2×8,75+20M = 3 \times 8{,}75, L = 2 \times 8{,}75 + 20

De onde vem cada valor: 33 = passo 1: triplo · 8,758{,}75 = passo 4 · 22 = passo 2 · 2020 = passo 2

M=26,25,L=37,50M = 26{,}25, L = 37{,}50

M = R$ 26,25, L = R$ 37,50

NÃO CAIA NESSA!

Errar a multiplicação: 3 × 8,75 = 26,25, não 26,75.

Passo 6 — Calcular a diferença pedida

A pergunta é quanto Luciana tem a mais que Marcos e Pedro juntos. Isso é L - (M + P).

Por que esta fórmula: A diferença é a subtração entre a quantia de Luciana e a soma das quantias de Marcos e Pedro.

L−(M+P)L - (M + P)

De onde vem cada valor: LL = passo 5 · MM = passo 5 · PP = passo 4

37,50−(26,25+8,75)37{,}50 - (26{,}25 + 8{,}75)

R$ 2,50

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer os parênteses e calcular 37,50 - 26,25 + 8,75 = 20,00, errado.

Resposta: R$ 2,50 (alternativa D)

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