Questão de Estatística — Conhecimentos de estatística — VUNESP 2022

Intervalo de Confiança para a Média

Gabarito: letra B. A interpretação correta de um intervalo de confiança de 95% para a média é que, se construíssemos muitos intervalos da mesma maneira, 95% deles conteriam a média verdadeira. A confiança está no método, não na probabilidade de um intervalo específico conter o parâmetro.

O intervalo de confiança é uma ferramenta da inferência estatística usada para estimar um parâmetro populacional (como a média μ) a partir de uma amostra. A fórmula geral para o intervalo de confiança da média, quando o desvio padrão populacional é conhecido, é:

Onde $\bar{x}$ é a média amostral, $z_{\alpha/2}$ é o valor crítico da distribuição normal padrão para o nível de confiança desejado, $\sigma$ é o desvio padrão populacional e $n$ é o tamanho da amostra. Quando o desvio padrão populacional é desconhecido, utiliza-se a distribuição t de Student com $n-1$ graus de liberdade.

A interpretação correta de um intervalo de confiança é um dos conceitos mais cobrados e, ao mesmo tempo, mais mal compreendidos em estatística. A confiança de 95% refere-se à proporção de intervalos que, se o processo de amostragem e construção do intervalo fosse repetido muitas vezes, conteriam o verdadeiro valor do parâmetro. Não é uma probabilidade de que o parâmetro esteja dentro de um intervalo específico já calculado.

A pegadinha clássica da banca é apresentar a alternativa D, que afirma que "a média dos anos de fumo está entre 1 e 9 com 95% de probabilidade". Essa é uma interpretação incorreta, pois o parâmetro (a média populacional) é um valor fixo e desconhecido; não faz sentido atribuir probabilidade a ele. A probabilidade está associada ao método de construção do intervalo, não ao intervalo em si.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a média foi de 5 anos e o desvio padrão 4 anos. O intervalo de confiança de 1 a 9 anos tem ponto médio 5, mas isso não implica que o desvio padrão seja 4. O desvio padrão não pode ser inferido diretamente do intervalo de confiança sem conhecer o tamanho da amostra e o nível de confiança. Além disso, o intervalo de confiança é para a média, não para os dados individuais.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a interpretação correta do intervalo de confiança. Se repetíssemos o processo de amostragem e construção do intervalo muitas vezes, aproximadamente 95% dos intervalos construídos conteriam a verdadeira média populacional. A confiança está no método, não em um intervalo específico.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que não havia na amostra ninguém que fumasse há menos de 1 ano ou acima de 9 anos. O intervalo de confiança é para a média populacional, não para os valores individuais da amostra. É perfeitamente possível que existam indivíduos na amostra com tempo de fumo fora desse intervalo.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que a média dos anos de fumo está entre 1 e 9 com 95% de probabilidade. Essa é a interpretação incorreta clássica. A média populacional é um valor fixo e desconhecido; não faz sentido atribuir probabilidade a ela. A probabilidade de 95% está associada ao método de construção do intervalo, não ao intervalo específico calculado.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que o resultado não é válido porque a distribuição do tempo entre os fumantes é assimétrica. O intervalo de confiança para a média é robusto a violações da normalidade quando o tamanho da amostra é suficientemente grande (pelo Teorema Central do Limite). A assimetria da distribuição não invalida o intervalo de confiança, especialmente com amostras grandes.

Gabarito: letra B