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Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — VUNESP 2022

EstatísticaCálculo de Probabilidades
Código
vu067910
Banca
VUNESP
Órgão
PC-RR
Ano
2022
Nível
Médio
Cargo
Agente de Polícia Civil (PROVA ANULADA)
Num grande presídio, 50% dos detentos são brancos, 40% negros e 10% indígenas. Selecionados 6 detentos ao acaso, qual a probabilidade de que sejam 2 brancos, 2 negros e 2 indígenas?
  1. A0,04%
  2. B0,4%
  3. C4,8%
  4. D40%
  5. E48%
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 0,4%

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 3,6% — nenhuma alternativa corresponde exatamente; o gabarito oficial (0,4%) está incorreto, pois ignora o número de arranjos..

A ideia por trás

Quando um experimento tem mais de dois resultados possíveis (aqui: branco, negro ou indígena), cada um com probabilidade fixa, e repetimos o experimento várias vezes de forma independente, usamos a distribuição multinomial. Ela generaliza a binomial, que serve só para dois resultados (sucesso/fracasso). A multinomial responde: qual a chance de, em n tentativas, cada categoria aparecer exatamente um certo número de vezes?

A fórmula é P = (n! / (x1! x2! ... xk!)) × p1^x1 × p2^x2 × ... × pk^xk. O fatorial n! dividido pelos fatoriais das contagens conta de quantas ordens diferentes o resultado pode acontecer (por exemplo, BBNNII e BNBNII são ordens distintas). O produto das probabilidades elevadas às contagens dá a chance de uma ordem específica. Multiplicando os dois, obtemos a probabilidade total de qualquer ordem com aquelas contagens. Vale quando as tentativas são independentes e as probabilidades não mudam.

Aqui temos três categorias com probabilidades 0,5, 0,4 e 0,1, e queremos exatamente 2 de cada em 6 seleções. Vamos aplicar a fórmula multinomial, calculando primeiro o número de arranjos e depois o produto das probabilidades.

O que a questão dá

  • proporção de brancos = 50% = 0,5

  • proporção de negros = 40% = 0,4

  • proporção de indígenas = 10% = 0,1

  • número de detentos selecionados = 6

  • quantidade desejada de brancos = 2

  • quantidade desejada de negros = 2

  • quantidade desejada de indígenas = 2

O que queremos: a probabilidade de, em 6 seleções, obter exatamente 2 de cada grupo étnico

Passo 1 — Calcular o número de arranjos possíveis

Precisamos contar de quantas maneiras diferentes podemos ordenar 2 brancos, 2 negros e 2 indígenas em uma sequência de 6 posições. Isso é essencial porque o evento '2 de cada' inclui todas essas ordens, não apenas uma específica.

Por que esta fórmula: A fórmula do coeficiente multinomial n!/(x1!x2!x3!) conta exatamente isso: o número de permutações de n elementos com repetições, onde cada grupo tem tamanho xi.

arranjos=6!2!⋅2!⋅2!\text{arranjos} = \frac{6!}{2! \cdot 2! \cdot 2!}

De onde vem cada valor: 6!6! = enunciado: 6 detentos selecionados · 2!2! = enunciado: 2 brancos, 2 negros, 2 indígenas

arranjos=7202⋅2⋅2=7208=90=90 arranjos\text{arranjos} = \frac{720}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{720}{8} = 90 = \boxed{90\ \text{arranjos}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir pelos fatoriais das contagens, contando 6! = 720 como se todos fossem distintos — isso superestima o número de ordens.

Passo 2 — Calcular o produto das probabilidades

Cada arranjo tem a mesma probabilidade de ocorrer, dada pelo produto das probabilidades de cada grupo elevadas à quantidade desejada. Precisamos desse valor para multiplicar pelo número de arranjos.

Por que esta fórmula: Como as seleções são independentes, a probabilidade de uma sequência específica é o produto das probabilidades de cada evento individual. Elevamos cada probabilidade à quantidade de vezes que o grupo aparece.

Pordem=(0,5)2×(0,4)2×(0,1)2P_{ordem} = (0{,}5)^{2} \times (0{,}4)^{2} \times (0{,}1)^{2}

De onde vem cada valor: 0,50{,}5 = enunciado: 50% brancos · 0,40{,}4 = enunciado: 40% negros · 0,10{,}1 = enunciado: 10% indígenas · expoente2expoente 2 = enunciado: 2 de cada grupo

Pordem=0,25×0,16×0,01=0,0004=0,0004P_{ordem} = 0{,}25 \times 0{,}16 \times 0{,}01 = 0{,}0004 = \boxed{0{,}0004}
NÃO CAIA NESSA!

Usar as porcentagens como 50, 40 e 10 em vez de 0,5, 0,4 e 0,1 — isso dá um número gigante e errado.

Passo 3 — Multiplicar arranjos pela probabilidade de cada ordem

A probabilidade total do evento '2 de cada' é a soma das probabilidades de todas as ordens possíveis. Como todas as ordens têm a mesma probabilidade, basta multiplicar o número de arranjos pela probabilidade de uma ordem.

Por que esta fórmula: Se há 90 ordens igualmente prováveis, cada uma com probabilidade 0,0004, a probabilidade total é 90 × 0,0004.

P=arranjos×PordemP = \text{arranjos} \times P_{ordem}

De onde vem cada valor: arranjosarranjos = passo 1: 90 · PordemP_{ordem} = passo 2: 0,0004

P=90×0,0004=0,036=0,036P = 90 \times 0{,}0004 = 0{,}036 = \boxed{0{,}036}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar pelo número de arranjos, obtendo 0,0004 (0,04%) — isso seria a probabilidade de uma ordem específica, não de qualquer ordem.

Passo 4 — Converter a probabilidade em porcentagem

As alternativas estão em porcentagem, então precisamos transformar o decimal 0,036 em porcentagem para comparar.

Por que esta fórmula: Porcentagem é o decimal multiplicado por 100.

P%=P×100P_{\%} = P \times 100

De onde vem cada valor: PP = passo 3: 0,036

P%=0,036×100=3,6=3,6 %P_{\%} = 0{,}036 \times 100 = 3{,}6 = \boxed{3{,}6\ \%}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir 0,036 com 0,36% — cuidado com a vírgula: 0,036 × 100 = 3,6, não 0,36.

Resposta: 3,6% — nenhuma alternativa corresponde exatamente; o gabarito oficial (0,4%) está incorreto, pois ignora o número de arranjos.

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