Questão de Matemática — Álgebra — VUNESP 2022

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 484 ingressos (alternativa B).

A ideia por trás

Este problema envolve equações do 1º grau com duas incógnitas, usadas para modelar situações do cotidiano onde duas quantidades estão relacionadas por condições dadas. A primeira equação expressa a relação entre as quantidades de ingressos vendidos em cada setor, e a segunda expressa a arrecadação total, que é a soma dos produtos de cada quantidade pelo seu preço. A resolução consiste em transformar as informações do enunciado em um sistema de equações e resolvê-lo por substituição, encontrando os valores das incógnitas e, por fim, a soma pedida.

O que a questão dá

• preço do setor A = R$ 30,00

• preço do setor B = R$ 45,00

• ingressos a mais no setor B = 120

• arrecadação total = R$ 19.050,00

O que queremos: o total de ingressos vendidos (A + B)

Passo 1 — Definir as incógnitas A e B

Para transformar o problema em linguagem matemática, precisamos nomear as quantidades desconhecidas. Chamaremos de A o número de ingressos vendidos no setor A e de B o número de ingressos vendidos no setor B. Isso permite escrever as relações do enunciado como equações.

Passo 2 — Montar a equação da relação entre A e B

O enunciado diz que foram vendidos 120 ingressos a mais para o setor B do que para o setor A. Isso significa que a quantidade B é igual à quantidade A mais 120. Essa relação é uma das equações do sistema.

Por que esta fórmula: A frase '120 ingressos a mais' indica uma adição: B é maior que A em 120 unidades, então B = A + 120.

De onde vem cada valor: $B$ = incógnita definida no passo 1 · $A$ = incógnita definida no passo 1 · $120$ = enunciado: '120 ingressos a mais para o setor B'

Passo 3 — Montar a equação da arrecadação total

A arrecadação total é a soma do dinheiro obtido com cada setor. Cada ingresso do setor A contribui com R$ 30,00 e cada ingresso do setor B com R$ 45,00. Portanto, a arrecadação é 30 vezes A mais 45 vezes B, e isso deve igualar o total de R$ 19.050,00.

Por que esta fórmula: A arrecadação é o produto do preço pela quantidade vendida, somado para os dois setores. Essa é a equação que relaciona as quantidades com o valor total.

De onde vem cada valor: $30$ = enunciado: preço do setor A = R$ 30,00 · $A$ = incógnita definida no passo 1 · $45$ = enunciado: preço do setor B = R$ 45,00 · $B$ = incógnita definida no passo 1 · $19050$ = enunciado: arrecadação total = R$ 19.050,00

Passo 4 — Substituir B na equação da arrecadação

Temos duas equações com duas incógnitas. Para resolver, substituímos a expressão de B (da equação do passo 2) na equação da arrecadação, ficando com uma equação apenas com a incógnita A.

Por que esta fórmula: A substituição é o método mais direto: como B = A + 120, trocamos B por (A + 120) na equação 30A + 45B = 19050.

De onde vem cada valor: $30A$ = passo 3: 30A + 45B = 19050 · $45(A + 120)$ = passo 2: B = A + 120, substituído em 45B

Passo 5 — Simplificar a equação e isolar A

Agora temos uma equação do 1º grau com uma incógnita. Precisamos simplificar os termos semelhantes e isolar A para encontrar seu valor.

Por que esta fórmula: Aplicamos a propriedade distributiva e somamos os termos com A, depois subtraímos o termo constante dos dois lados e dividimos pelo coeficiente de A.

De onde vem cada valor: $75A$ = 30A + 45A = 75A, do passo 4 · $13650$ = 19050 - 5400 = 13650, após subtrair 45·120 = 5400

Passo 6 — Calcular o valor de A

Com a equação simplificada, dividimos ambos os lados por 75 para obter o número de ingressos do setor A.

Por que esta fórmula: Para isolar A, dividimos os dois lados da equação pelo coeficiente de A, que é 75.

De onde vem cada valor: $13650$ = passo 5 · $75$ = passo 5: coeficiente de A

Passo 7 — Calcular o valor de B

Conhecendo A, usamos a relação B = A + 120 para encontrar o número de ingressos do setor B.

Por que esta fórmula: A equação do passo 2 relaciona B com A, então substituímos o valor de A nela.

De onde vem cada valor: $182$ = passo 6 · $120$ = enunciado: '120 ingressos a mais'

Passo 8 — Somar A e B para obter o total

A pergunta pede o total de ingressos vendidos, que é a soma das quantidades de cada setor. Somamos os valores encontrados.

Por que esta fórmula: O total é a soma das partes: A + B.

De onde vem cada valor: $A$ = passo 6: 182 · $B$ = passo 7: 302

Resposta: 484 ingressos (alternativa B)