Matemática · VUNESP · 2022 | Questão sqc-vu068005

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a R$ 11.520,00 (alternativa C).

A ideia por trás

A média aritmética ponderada é uma forma de calcular um valor médio quando os dados têm importâncias (pesos) diferentes. No mundo real, ela aparece em situações como notas com pesos diferentes ou, como aqui, em que horas normais e extras têm valores distintos e quantidades diferentes. A média ponderada é a soma de cada valor multiplicado pelo seu peso, dividida pela soma dos pesos. Nesta questão, o valor médio de R$ 72,00 por hora é a média ponderada entre o valor da hora normal (x) e o valor da hora extra (x + 35), com pesos iguais ao número de horas de cada tipo. O total recebido é a soma dos produtos de cada valor pelo seu peso, que também pode ser obtido multiplicando a média pelo total de horas.

O que a questão dá

horas por dia = 8
dias trabalhados = 16
horas extras = 32
valor da hora extra = hora normal + R$ 35,00
média por hora = R$ 72,00

O que queremos: o total recebido por Joana no mês

Passo 1 — Calcular o total de horas normais

Precisamos saber quantas horas normais Joana trabalhou no mês, porque isso será o peso da hora normal na média ponderada. O total de horas normais é o produto dos dias trabalhados pelas horas por dia.

Por que esta fórmula: Como cada dia tem 8 horas e ela trabalhou 16 dias, o total de horas normais é a multiplicação 8 × 16.

H_{normais} = 8 \times 16

De onde vem cada valor: $8$ = enunciado: horas por dia = 8 · $16$ = enunciado: dias trabalhados = 16

H_{normais} = 8 \times 16 = \boxed{128\ \text{horas}}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar e usar 16 como total de horas normais.

Passo 2 — Calcular o total de horas trabalhadas

A média de R$ 72,00 é calculada sobre todas as horas trabalhadas (normais + extras). Para montar a equação da média, precisamos do total de horas, que é a soma das horas normais e das extras.

Por que esta fórmula: O total de horas é simplesmente a soma das horas normais (passo 1) com as horas extras fornecidas no enunciado.

H_{total} = H_{normais} + H_{extras}

De onde vem cada valor: $H_{normais}$ = passo 1: 128 horas · $H_{extras}$ = enunciado: 32 horas

H_{total} = 128 + 32 = \boxed{160\ \text{horas}}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar as horas extras e usar apenas 128.

Passo 3 — Montar a equação da média ponderada

A média de R$ 72,00 é a média ponderada entre o valor da hora normal (x) e o valor da hora extra (x + 35), com pesos iguais ao número de horas de cada tipo. Precisamos montar essa equação para descobrir o valor de x.

Por que esta fórmula: A média ponderada é a soma dos produtos de cada valor pelo seu peso, dividida pela soma dos pesos. Aqui, os valores são x e x+35, e os pesos são 128 e 32. Igualamos essa média a 72.

\frac{128 \cdot x + 32 \cdot (x + 35)}{160} = 72

De onde vem cada valor: $128$ = passo 1: horas normais · $x$ = enunciado: valor da hora normal (incógnita) · $32$ = enunciado: horas extras · $x + 35$ = enunciado: valor da hora extra = hora normal + 35 · $160$ = passo 2: total de horas · $72$ = enunciado: média por hora

\frac{128 \cdot x + 32 \cdot (x + 35)}{160} = 72

NÃO CAIA NESSA!

Usar média aritmética simples (x + x+35)/2 em vez de ponderada.

Passo 4 — Resolver a equação para achar x

A equação do passo 3 tem uma incógnita, x, que é o valor da hora normal. Precisamos isolá-la para descobrir quanto vale a hora normal, pois isso nos permitirá calcular o total recebido.

Por que esta fórmula: Vamos resolver a equação passo a passo: primeiro multiplicamos ambos os lados por 160 para eliminar o denominador, depois distribuímos o 32, somamos os termos com x, isolamos x e dividimos.

128x + 32(x + 35) = 72 \times 160

De onde vem cada valor: $128x$ = passo 3: 128 · x · $32(x + 35)$ = passo 3: 32 · (x + 35) · $72 \times 160$ = passo 3: média × total de horas

128x + 32x + 1120 = 11520

x = \boxed{65}

NÃO CAIA NESSA!

Errar a distributiva: 32(x+35) = 32x + 1120, não 32x + 35.

Passo 5 — Calcular o valor da hora extra

Com o valor da hora normal (x = 65) em mãos, podemos calcular o valor da hora extra, que é x + 35. Isso é necessário para calcular o total recebido.

Por que esta fórmula: O enunciado diz que a hora extra vale R$ 35,00 a mais que a normal, então basta somar 35 ao valor de x.

h_{extra} = x + 35

De onde vem cada valor: $x$ = passo 4: 65 · $35$ = enunciado: diferença entre hora extra e normal

h_{extra} = 65 + 35

$h_{extra}$ = R$ 100,00

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar 35 e usar 65 como valor da hora extra.

Passo 6 — Calcular o total recebido no mês

Agora temos todos os valores: horas normais (128), valor da hora normal (65), horas extras (32) e valor da hora extra (100). O total recebido é a soma dos produtos de cada tipo de hora pelo seu valor.

Por que esta fórmula: O total recebido é a soma do que ela ganhou com horas normais (128 × 65) e com horas extras (32 × 100).

Total = 128 \times 65 + 32 \times 100

De onde vem cada valor: $128$ = passo 1: horas normais · $65$ = passo 4: valor da hora normal · $32$ = enunciado: horas extras · $100$ = passo 5: valor da hora extra

Total = 128 \times 65 + 32 \times 100

$Total$ = R$ 11.520,00

NÃO CAIA NESSA!

Calcular apenas 128 × 65 e esquecer as horas extras, ou usar o valor errado da hora extra.

Resposta: R$ 11.520,00 (alternativa C)

Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2022

Resolução

A ideia por trás

O que a questão dá

Passo 1 — Calcular o total de horas normais

Passo 2 — Calcular o total de horas trabalhadas

Passo 3 — Montar a equação da média ponderada

Passo 4 — Resolver a equação para achar x

Passo 5 — Calcular o valor da hora extra

Passo 6 — Calcular o total recebido no mês