Uma atividade foi realizada em um parque e os participantes foram divididos em dois grandes grupos. No primeiro grupo, a razão entre os números de homens e mulheres era de 4/5. Em relação ao primeiro grupo, o segundo grupo tinha 9 homens a mais e 19 mulheres a menos. Sabendo-se que, no segundo grupo, o número de homens era igual ao número de mulheres, o total de participantes nessa atividade foi
A494.
B528.
C564.
D602.
E668.
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GabaritoA — 494.
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Resolução
Gabarito: letra A — a conta chega a 494 participantes (alternativa A).
A ideia por trás
Razão e proporção comparam duas grandezas: se a razão entre homens e mulheres é 4/5, isso significa que, para cada 4 homens, há 5 mulheres. Essa razão pode ser escrita como uma fração com uma incógnita multiplicando: 4k homens e 5k mulheres, onde k é um fator comum. A relação fundamental é que, ao multiplicar ou dividir os termos da razão por um mesmo número, a razão não muda. Nesta questão, usamos a razão para montar uma equação com as variações do segundo grupo, e a igualdade entre homens e mulheres nesse grupo nos permite descobrir o valor de k. Depois, somamos os totais dos dois grupos para achar o número total de participantes.
O que a questão dá
razão homens/mulheres no 1º grupo = 4/5
2º grupo: 9 homens a mais e 19 mulheres a menos que o 1º
no 2º grupo, homens = mulheres
O que queremos: o total de participantes na atividade
Passo 1 — Representar homens e mulheres do 1º grupo
Precisamos transformar a razão 4/5 em uma expressão algébrica que relacione o número de homens e mulheres. Como a razão é 4 para 5, podemos dizer que há 4k homens e 5k mulheres, onde k é um número inteiro positivo que escala a razão para os valores reais.
Por que esta fórmula: A razão a/b significa que as quantidades são proporcionais a a e b, então multiplicamos por um fator comum k para obter os valores reais.
De onde vem cada valor: = definição: homens do 1º grupo · = definição: mulheres do 1º grupo · = fator de proporcionalidade (incógnita)
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer o fator k e achar que são exatamente 4 e 5 pessoas.
Passo 2 — Montar expressões para o 2º grupo
O enunciado diz que o segundo grupo tem 9 homens a mais e 19 mulheres a menos que o primeiro. Precisamos escrever essas variações em termos de k para depois igualar homens e mulheres.
Por que esta fórmula: Somamos 9 ao número de homens e subtraímos 19 do número de mulheres, conforme as informações.
De onde vem cada valor: = passo 1: H_1 = 4k, mais 9 do enunciado · = passo 1: M_1 = 5k, menos 19 do enunciado
NÃO CAIA NESSA!
Inverter os sinais: subtrair 9 e somar 19.
Passo 3 — Igualar homens e mulheres do 2º grupo
O problema afirma que no segundo grupo o número de homens é igual ao de mulheres. Essa igualdade é a chave para encontrar o valor de k.
Por que esta fórmula: Igualamos as duas expressões do passo 2, pois H_2 = M_2.
De onde vem cada valor: = passo 2: H_2 · = passo 2: M_2
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de igualar e tentar resolver separadamente.
Passo 4 — Resolver a equação para achar k
Com a equação montada, precisamos isolar k para descobrir o fator de proporcionalidade. Isso nos dará os números reais de homens e mulheres.
Por que esta fórmula: Isolamos k passando os termos com k para um lado e os números para o outro.
De onde vem cada valor: = passo 3 · = passo 3 · = passo 3 · = passo 3
NÃO CAIA NESSA!
Errar a aritmética ao mover termos: por exemplo, subtrair 4k dos dois lados e errar o sinal.
Passo 5 — Calcular homens e mulheres do 1º grupo
Com k = 28, podemos encontrar quantos homens e mulheres havia no primeiro grupo, substituindo k nas expressões do passo 1.
Por que esta fórmula: Substituímos o valor de k nas fórmulas H_1 = 4k e M_1 = 5k.
De onde vem cada valor: = passo 1: razão · = passo 4: k · = passo 1: razão
NÃO CAIA NESSA!
Multiplicar errado: 4×28 = 112, 5×28 = 140.
Passo 6 — Calcular o total do 1º grupo
Precisamos do total de participantes do primeiro grupo para depois somar com o segundo.
Por que esta fórmula: Somamos o número de homens e mulheres do primeiro grupo.
De onde vem cada valor: = passo 5: 112 · = passo 5: 140
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de somar e usar apenas um dos valores.
Passo 7 — Calcular o total do 2º grupo
O segundo grupo tem 9 homens a mais e 19 mulheres a menos que o primeiro. Com os valores do primeiro grupo, calculamos os do segundo e somamos.
Por que esta fórmula: Aplicamos as variações: H_2 = H_1 + 9 e M_2 = M_1 - 19, depois somamos.
De onde vem cada valor: = passo 5: H_1 · = enunciado: 9 homens a mais · = passo 5: M_1 · = enunciado: 19 mulheres a menos
NÃO CAIA NESSA!
Aplicar as variações ao total do primeiro grupo em vez de a homens e mulheres separadamente.
Passo 8 — Somar os totais dos dois grupos
O total de participantes na atividade é a soma dos participantes dos dois grupos.
Por que esta fórmula: Somamos os totais calculados nos passos 6 e 7.
De onde vem cada valor: = passo 6: 252 · = passo 7: 242