Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — VUNESP 2022

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a R$ 602,40 (alternativa A).

A ideia por trás

Este problema envolve equações do primeiro grau com duas incógnitas: o valor que a pessoa possui (P) e o preço unitário do produto (U). A primeira condição diz que, se a pessoa tivesse R$ 101,20 a mais, conseguiria comprar exatamente 4 unidades, ou seja, P + 101,20 = 4U. A segunda condição diz que, comprando 3 unidades, sobram R$ 24,10, ou seja, P − 3U = 24,10. Montamos um sistema linear e resolvemos por substituição. A pegadinha é inverter o sinal da primeira condição ou interpretar errado a sobra. Depois de achar U e P, calculamos o custo de 8 unidades e subtraímos P para achar o valor que falta.

O que a questão dá

• valor possuído = P (incógnita)

• preço unitário = U (incógnita)

• com R$ 101,20 a mais, compra exatamente 4 unidades

• comprando 3 unidades, sobram R$ 24,10

O que queremos: o valor mínimo que precisa ser adicionado ao que se possui para comprar 8 unidades

Passo 1 — Montar as duas equações

Precisamos traduzir as frases do enunciado em equações matemáticas. A primeira frase: 'com R$ 101,20 a mais do que se possui, tem-se o valor exato para comprar 4 unidades' significa que o valor possuído (P) somado a 101,20 é igual a 4 vezes o preço unitário (U). A segunda: 'comprando 3 unidades, sobram R$ 24,10' significa que, do valor possuído, subtraindo o custo de 3 unidades (3U), sobra 24,10, ou seja, P − 3U = 24,10.

Por que esta fórmula: Cada condição do enunciado vira uma equação linear. A primeira é uma soma (P + 101,20 = 4U) porque 'a mais' indica adição. A segunda é uma subtração (P − 3U = 24,10) porque 'sobram' indica que o gasto é menor que o possuído.

De onde vem cada valor: $P$ = enunciado: valor que se possui (incógnita) · $U$ = enunciado: preço unitário do produto (incógnita) · $101{,}20$ = enunciado: 'R$ 101,20 a mais' · $4$ = enunciado: '4 unidades' · $3$ = enunciado: '3 unidades' · $24{,}10$ = enunciado: 'sobram R$ 24,10'

Passo 2 — Isolar P na segunda equação

Para resolver o sistema, precisamos expressar uma incógnita em função da outra. Isolar P na segunda equação é conveniente porque ela já tem P com coeficiente 1.

Por que esta fórmula: Da equação P − 3U = 24,10, somamos 3U nos dois lados para deixar P sozinho: P = 24,10 + 3U.

De onde vem cada valor: $24{,}10$ = passo 1: equação 2 · $3U$ = passo 1: equação 2

Passo 3 — Substituir P na primeira equação

Com P expresso em função de U, substituímos na primeira equação para ficar com uma equação só com U, que podemos resolver.

Por que esta fórmula: Na equação P + 101,20 = 4U, trocamos P por (24,10 + 3U), pois são equivalentes.

De onde vem cada valor: $24{,}10 + 3U$ = passo 2: expressão de P · $101{,}20$ = passo 1: equação 1 · $4U$ = passo 1: equação 1

Passo 4 — Resolver a equação para achar U

Agora temos uma equação do primeiro grau com U. Precisamos isolá-la para descobrir o preço unitário.

Por que esta fórmula: Simplificamos a equação: somamos os números (24,10 + 101,20 = 125,30) e depois subtraímos 3U dos dois lados para deixar U sozinho: 125,30 = U.

De onde vem cada valor: $125{,}30$ = passo 3: soma 24,10 + 101,20 · $U$ = passo 3: termo com U

Passo 5 — Calcular o valor possuído P

Com o preço unitário conhecido, usamos a expressão do passo 2 para achar quanto a pessoa possui.

Por que esta fórmula: Substituímos U = 125,30 na expressão P = 24,10 + 3U.

De onde vem cada valor: $24{,}10$ = passo 2 · $3$ = passo 1: equação 2 · $125{,}30$ = passo 4: valor de U

Passo 6 — Calcular o custo de 8 unidades

Precisamos saber quanto custam 8 unidades para comparar com o valor possuído.

Por que esta fórmula: O custo total é o preço unitário vezes a quantidade: C = 8 × U.

De onde vem cada valor: $8$ = enunciado: '8 unidades' · $U$ = passo 4: R$ 125,30

Passo 7 — Calcular quanto falta para comprar

O valor que falta é a diferença entre o custo das 8 unidades e o valor possuído.

Por que esta fórmula: Se a pessoa tem P e precisa de C, falta C − P.

De onde vem cada valor: $C$ = passo 6: R$ 1.002,40 · $P$ = passo 5: R$ 400,00

Resposta: R$ 602,40 (alternativa A)