Deseja-se construir um intervalo de confiança para a idade média dos detentos em um sistema prisional. Para isso, serão selecionados, ao acaso, 100 detentos. É correto afirmar que
Aé preciso saber como as idades são distribuídas para construir o intervalo.
Bo tamanho da amostra permite dizer que a distribuição da média se aproxima da normal.
Cnão se pode usar a distribuição normal porque a amostra é muito pequena.
Da distribuição da média só será normal se a distribuição das idades for normal.
Ea distribuição t, de Student, deve ser usada obrigatoriamente.
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GabaritoE — a distribuição t, de Student, deve ser usada obrigatoriamente.
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Intervalo de confiança para a média: Teorema Central do Limite e distribuição t de Student
Gabarito: letra B. Com uma amostra de tamanho n = 100 (≥ 30), o Teorema Central do Limite garante que a distribuição da média amostral se aproxima da distribuição normal, independentemente da distribuição da população de origem. Isso permite construir o intervalo de confiança para a média usando a distribuição normal (ou t, com aproximação), sem exigir que a população seja normal.
A questão trata da construção de um intervalo de confiança para a média populacional (idade média dos detentos) a partir de uma amostra de 100 elementos. O ponto central é saber qual distribuição usar para o estimador da média amostral. A resposta depende de dois fatores: (1) o tamanho da amostra e (2) o conhecimento da variância populacional.
O Teorema Central do Limite (TCL) é o fundamento teórico: para amostras grandes (n ≥ 30), a distribuição da média amostral tende à normal, mesmo que a população não seja normal. Isso é o que torna possível a inferência sobre a média sem conhecer a distribuição original. Quando a variância populacional é desconhecida (caso comum), usa-se a distribuição t de Student, mas com n grande (≥ 30) a t se aproxima da normal, e muitos autores aceitam o uso da normal como aproximação.
A pegadinha da banca está em confundir a necessidade de conhecer a distribuição da população com a possibilidade de usar a normal para a média amostral. O TCL separa essas duas coisas: a população pode ser assimétrica, mas a média de uma amostra grande será aproximadamente normal.
Caso
Condição (n vs. 30)
Distribuição da média amostral
Uso da normal/t
Resultado
1
n = 100 (≥ 30)
Aproxima-se da normal (TCL)
Normal (ou t, com aproximação)
Válido
2
n < 30, população normal
Normal
t de Student
Válido
3
n < 30, população não normal
Não normal
Não paramétrico
Inviável
Alternativa A — ❌ Incorreta
Afirma que é preciso saber como as idades são distribuídas para construir o intervalo. Isso é falso para amostras grandes (n ≥ 30), pois o TCL garante a normalidade aproximada da média amostral independentemente da distribuição populacional. O conhecimento da distribuição original só seria necessário para amostras pequenas (n < 30), quando a população precisaria ser normal para usar a distribuição t.
Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Com n = 100 (≥ 30), o Teorema Central do Limite assegura que a distribuição da média amostral se aproxima da normal, mesmo que a população não seja normal. Isso permite construir o intervalo de confiança para a média usando a distribuição normal (ou t, com aproximação), sem exigir que a população seja normal. A alternativa espelha exatamente essa propriedade.
Alternativa C — ❌ Incorreta
Afirma que não se pode usar a distribuição normal porque a amostra é muito pequena. Isso é falso: n = 100 é uma amostra grande (≥ 30), e o TCL garante a aproximação normal. A distribuição normal seria inadequada apenas para amostras pequenas (n < 30) com população não normal.
Alternativa D — ❌ Incorreta
Afirma que a distribuição da média só será normal se a distribuição das idades for normal. Isso é falso para amostras grandes (n ≥ 30), pois o TCL garante a normalidade aproximada da média amostral independentemente da distribuição populacional. A normalidade da população só seria necessária para amostras pequenas.
Alternativa E — ❌ Incorreta
Afirma que a distribuição t de Student deve ser usada obrigatoriamente. Isso é falso: a t de Student é usada quando a variância populacional é desconhecida e a amostra é pequena (n < 30). Com n = 100 (≥ 30), pode-se usar a distribuição normal como aproximação, mesmo com variância desconhecida, pois a t se aproxima da normal para amostras grandes.
NÃO CAIA NESSA!
A banca explora a confusão entre a distribuição da população e a distribuição da média amostral. O candidato pode pensar que precisa conhecer a distribuição das idades (alternativa A) ou que a normalidade da população é obrigatória (alternativa D), mas o TCL garante a normalidade aproximada da média para amostras grandes (n ≥ 30), independentemente da distribuição original. Fique atento: a t de Student só é obrigatória para amostras pequenas (n < 30) com variância desconhecida.
PEGA ESSA DICA!
Para decidir entre normal e t de Student, verifique o tamanho da amostra e o conhecimento da variância populacional. Se n ≥ 30, use a normal (ou t, com aproximação); se n < 30 e a variância é desconhecida, use a t de Student; se n < 30 e a população não é normal, use métodos não paramétricos. Memorize essa regra para resolver rapidamente questões de intervalo de confiança.